Question

如图所示，水平轨道上，轻弹簧左端固定，自然状态时右端位于P点．现用一质量m=0.1kg的小物块（视为质点）将弹簧压缩后释放，物块经过P点时的速度v=18m/s，经过水平轨道右端Q点后恰好沿半圆轨道的切线进入竖直固定的圆轨道，最后滑上质量M=0.9kg的长木板（木板足够长，物块滑上去不会从木板上掉下来）．已知PQ间的距离l=1m，竖直半圆轨道光滑且半径R=1m，物块与水平轨道间的动摩擦因数µ₁=0.15，与木板间的动摩擦因数µ₂=0.2，木板与水平地面间的动摩擦因数µ₃=0.01，取g=10m/s²．
（1）判断物块经过Q点后能否沿圆周轨道运动；
（2）求木板滑行的最大距离x．

Answer

（1）由牛顿第二定律求得物块在PQ上运动的加速度，根据运动学公式求得进入轨道的速度，在Q点根据牛顿第二定律求得对轨道的压力，只要压力大于等于0就能沿轨道运动，否则不能．
（2）根据机械能守恒求出滑上木板的速度，根据牛顿第二定律求出滑上木板的加速度，再根据运动学公式求出位移．
【解析】
（1）物块在PQ上运动的加速度
a1=-µ1g=-1.5m/s2 
进入圆周轨道时的速度为v
v2-v2=2a1l 
得v2=v2+2a1l=321 m2/s2
设物块刚离开Q点时，圆轨道对物块的压力为FN，
根据牛顿定律，有FN+mg=m
FN=m-mg=31.1N＞0
故物块能沿圆周轨道运动
（2）物块滑上木板时的速度为v1
根据机械能守恒有
mv2+mg•2R=mv12
得v1=19m/s
物块滑上木板时的加速度为a2
根据牛顿第二定律有
a2=-µ2g=-2m/s2
木板的加速度位a3
µ2mg-µ3（m+M）g=Ma3
=m/s2
设物块滑上木板经过时间t二者共速，
v1+a2t=a3t  得t=9s
这时木板的位移s1=a3t2=4.5m
它们的共同速度v2=a3t=1m/s
物块和木板一起减速的加速度a4=-µ3g=-0.1m/s2
它们减速运动的位移s2==5m
x=s1+s2=9.5m 
答：（1）物块能沿圆周轨道运动；
（2）木板滑行的最大距离x为9.5m．