Question

如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨MN，PQ与水平面夹角为a，导轨的电阻不计，导轨的N、P端连接一阻值为R的电阻，导轨置于磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直的匀强磁场中．将一根质量为m、电阻为r的导体棒垂直放在导轨上，导体棒ab恰能保持静止．现给导体棒一个大小为v、方向沿导轨平面向下的初速度，然后任其运动，导体棒在运动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好．设导体棒所受滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，求：
（1）导体棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）在整个运动过程中电阻R上产生的焦耳热；
（3）导体棒在导轨上移动的最大距离．

Answer

（1）由于导体棒刚能在导轨上保持静止，根据导轨处于平衡状态，可正确求解．
（2）由于重力沿导轨向下的分力等于摩擦力，因此导体棒在安培力作用下减速运动，克服安培力做功为整个回路中产生的焦耳热，然后根据电阻的串联可求出R上产生的焦耳热．
（3）本问有一定的难度，由于导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，其加速度是变化的，因此不能用匀变速运动知识解答，可以通过微积分思想进行解答，如在极短的时间内安培力可以认为不变，利用动量定理列方程，然后根据数学知识求解．
【解析】
（1）导体棒处于平衡状态，由受力平衡得
mgsinα=μmgcosα      ①
解得动摩擦因数：μ=tanα    ②
故导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=tanα．
（2）导体棒在安培力作用下减速运动，最后静止在导轨上，且摩擦力所做的功和重力所做的功相等，故由能量守恒定律得整个电路中的焦耳热
    ③
由电路知识得电阻r和R串联电流时刻相等，故电阻R上的热量
   ④
故在整个运动过程中电阻R上产生的焦耳热为：．
（3）设导体棒在减速中的某一时刻速度为υ，取一极短时间△t，发生了一段极小的位移△x，在△t时间内，磁通量的变化量为△Φ，则有：
△Φ=BL△x   ⑤
电路中的电流：   ⑥
导体棒受到的安培力：F=BIL   ⑦
△t很小，则安培力为恒力，选沿斜面方向为正方向，由动量定理
-F△t=m△v   ⑧
联立⑤⑥⑦⑧解得：    ⑨
对⑨式两边求和有：   ⑩
解得导体棒下滑的总距离：
故导体棒在导轨上移动的最大距离为：．