Question

在光滑绝缘的水平桌面上，有两个质量均为m，电量为+q的完全相同的带电粒子P₁和P₂，在小孔A处以初速度为零先后释放．在平行板间距为d的匀强电场中加速后，P₁从C处对着圆心进入半径为R的固定圆筒中（筒壁上的小孔C只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场．P₁每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，P₁进入磁场第一次与筒壁碰撞点为D，∠COD=θ，如图所示．延后释放的P₂，将第一次欲逃逸出圆筒的P₁正碰圆筒内，此次碰撞刚结束，立即改变平行板间的电压，并利用P₂与P₁之后的碰撞，将P₁限制在圆筒内运动．碰撞过程均无机械能损失．设，求：在P₂和P₁相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P₁与筒壁的可能碰撞次数．
附：部分三角函数值

φ
tanφ	3.08	1.73	1.00	0.73	0.58	0.48	0.41	0.36	0.32

Answer

P2与欲逃逸出圆筒的P1正碰圆筒内，两粒子碰撞应当在C点．碰撞过程均无机械能损失，碰后两粒子以原速率返回．P1第一与圆筒碰撞在D点，由几何知识，可求出轨迹半径和C到D的时间，运用归纳法求出在P2和P1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P1与筒壁的可能碰撞次数．
【解析】
粒子在磁场中匀速圆周运动的周期T=，
    由几何知识，得半径r=Rtan=
      从C到D的时间tCD=
     P1、P2每次碰撞都应当在C点．
    设P1在圆筒内转动了n圈和筒壁碰撞了K次后与P2相碰于C点，则K+1=
    所以两粒子每次碰撞的时间间隔t=tCD（K+1）==
    在t 时间内，P2向左运动x再回到C，平均速度为
              t=2=≤=
    由上述两式可得，≥
           （k+1）≤
            tan≤

     当 n=1，K=2、3、4、5、6、7 时符合条件，K=1、8、9…不符合条件
     当 n=2，3，4…．时，无论K等于多少，均不符合条件．
答：在P2和P1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P1与筒壁的可能碰撞次数为2、3、4、5、6、7．