Question

隐身技术在军事领域应用很广．某研究小组的“电磁隐形技术”可等效为下面的模型，如图所示，在y＞0的区域内有一束平行的α粒子流（质量设为M，电荷量设为q），它们的速度均为v，沿x轴正向运动．在0≤x＜d的区间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里；在d≤x＜3d的区间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外；在3d≤x＜4d的区间有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里．要求α粒子流经过这些区域后仍能沿原直线运动，这样使第一象限某些区域α粒子不能到达，达到“屏蔽”α粒子的作用效果．则：
（1）定性画出一个α粒子的运动轨迹；
（2）求对α粒子起“屏蔽”作用区间的最大面积；
（3）若v、M、q、B已知，则d应满足什么条件？

Answer

（1）粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，0≤x＜d的区间逆时针转过90°进入d≤x＜3d的区间，顺时针转过180°进入3d≤x＜4d的区间，转过90°穿出磁场．画出轨迹．
（2）要使α粒子流经过这些区域后仍能沿直线运动，每一小段小于等于四分之一圆弧，当每段轨迹为四分之一圆弧时“屏蔽”的面积最大．由几何知识求解最大面积；
（3）由牛顿第二定律求出轨迹半径的表达式，要使α粒子可以继续向右运动，必须使R≥d，求出应满足的条件．
【解析】
（1）轨迹如图．

（2）要使α粒子流经过这些区域后仍能沿直线运动，则每一小段小于等于四分之一圆弧，且四分之一圆弧时“屏蔽”的面积最大．此时半径为d，如图．由几何关系可知
最大面积Smax=4d2
（3）由
得
而要使α粒子可以继续向右运动，则要求R≥d
即：
答：（1）α粒子的运动轨迹如图所示；
    （2）对α粒子起“屏蔽”作用区间的最大面积为4d2；
    （3）若v、M、q、B已知，则d应满足．