雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大．现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始质量为m
，初速度为v
，下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并，质量变为m
1．此后每经过同样的距离l后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次变为m
2、m
3…m
n…（设各质量为已知量）．不计空气阻力．
（1）若不计重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v
n；
（2）若考虑重力的影响，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v
1和v
n′；b．求第n次碰撞后雨滴的动能
．
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利用霍尔效应制作的霍尔元件以及传感器，广泛应用于测量和自动控制等领域．
如图1，将一金属或半导体薄片垂直置于磁场B中，在薄片的两个侧面a、b间通以电流I时，另外两侧c、f间产生电势差，这一现象称为霍尔效应．其原因是薄片中的移动电荷受洛伦兹力的作用向一侧偏转和积累，于是c、f间建立起电场E
H，同时产生霍尔电势差U
H．当电荷所受的电场力与洛伦兹力处处相等时，E
H和U
H达到稳定值，U
H的大小与I和B以及霍尔元件厚度d之间满足关系式U
H=R
H
，其中比例系数R
H称为霍尔系数，仅与材料性质有关．
（1）设半导体薄片的宽度（c、f间距）为l，请写出U
H和E
H的关系式；若半导体材料是电子导电的，请判断图1中c、f哪端的电势高；
（2）已知半导体薄片内单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e，请导出霍尔系数R
H的表达式．（通过横截面积S的电流I=nevS，其中v是导电电子定向移动的平均速率）；
（3）图2是霍尔测速仪的示意图，将非磁性圆盘固定在转轴上，圆盘的周边等距离地嵌装着m个永磁体，相邻永磁体的极性相反．霍尔元件置于被测圆盘的边缘附近．当圆盘匀速转动时，霍尔元件输出的电压脉冲信号图象如图3所示．
a．若在时间t内，霍尔元件输出的脉冲数目为P，请导出圆盘转速N的表达式．
b．利用霍尔测速仪可以测量汽车行驶的里程．除此之外，请你展开“智慧的翅膀”，提出另一个实例或设想．
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