Question

细管AB内壁光滑、厚度不计，加工成如图所示形状，长L=0.8m的BD段固定在竖直平面内，其B端与半径R=0.4m的光滑圆弧轨道平滑连接，CD段是半径R=0.4m的圆弧，AC段在水平面上，与长S=1.25m、动摩擦因数μ=0.25的水平轨道AQ平滑相连，管中有两个可视为质点的小球a、b，m_a=3m_b．开始b球静止，a球以速度v向右运动，与b球发生弹性碰撞之后，b球能够越过轨道最高点P，a球能滑出AQ．（重力加速度g取10m/s²，）．求：
①若v=4m/s，碰后b球的速度大小；
②若v未知，碰后a球的最大速度；
③若v未知，v的取值范围．

Answer

①、a、b过程中动量和机械能都守恒，分别用动量守恒和机械能守恒列式求解即可．
②、要想让a球能滑出AQ，则a球与b球碰撞后，a球不能超过B点，否则a球会进入半圆形轨道，就不会经过AQ．a球碰撞后直至B的过程中，机械能守恒．应用机械能守恒定律可求出碰后a球的最大速度．
③、要使b球能顺利经过最高点，则在最高点时有，由此可应用机械能守恒求出b球碰撞后的最小速度．从而求出a球碰撞前的最小速度（注意：还要兼顾a球滑出AQ）．要使a球滑出AQ，则a球至少要达到一定的速度才行，由运动学公式可求出此条件．碰后a上升的高度不能超过（L+R），否则a球就不会返回经过AQ，结合第二问可求出a球的最大速度．
【解析】

①、a、b碰撞过程中，以a、b组成的系统为研究对象，经受力分析，系统动量守恒．选向右的方向为正，设a、b碰后瞬间速度为va1、vb1，由动量守恒得：
mav=mava1+mbvb1…①
因a、b的碰撞是弹性碰撞，所以碰撞过程中机械能守恒，有：
…②
①②两式联立解得：

②、因a球能滑出AQ，故a与b碰后，a上升的高度不能超过B点，即上升的高度不会超过L+R．设碰撞后a的最大速度为
a球上升的过程中机械能守恒，有：
=mag（L+R）
得：
③、欲使b能通过最高点，设b球与a碰撞后的速度为，经过最高点时的速度为vb2，则有：

得：
b球在上升至最高点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，有：
=
解得：vb1≥6m/s

因为a球能通过粗糙区域，设a碰撞前的速度为，碰撞后，的速度为va1，则有：

解得：va1＞2.5m/s

碰后a上升的高度不能超过（L+R），必须满足

综上可得
5m/s＜v≤9.8m/s   
答：①若v=4m/s，碰后b球的速度为6m/s．
②若v未知，碰后a球的最大速度4.9m/s
③若v未知，v的取值范围为5m/s＜v≤9.8m/s