Question

如图所示，A₁D是水平面，AC是倾角为45°的斜面，小物块从A点由静止释放沿ACD滑动，到达D点时速度刚好为零．将上述过程改作平抛运动，小明作了以下三次尝试，物块最终也能到达D点：第一次从A点以水平初速度v₁向右抛出物块，其落点为斜面AC的中点B；第二次从A点以水平初速度v₂向右抛出物块，其落点为斜面的底端C；第三次从A点以水平初速度v₃向右抛出物块，其落点刚好为水平面上的D点．已知∠AA₁C=90°，长度A₁C=CD，物块与斜面、水平面之间的动摩擦因数均相同，不计物块经C点的机械能损失．
（1）求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）求初速度之比v₁：v₂：v₃；
（3）试证明物块落到B、C两点前瞬时速度v_B、v_C大小满足：．

Answer

（1）对物块从A-D的运动过程运用动能定理（在此过程中只有重力和摩擦力做功，初末动能都为零）即可解题；
（2）三次运动都做平抛运动，根据几何关系可知，三次运动的水平位移和竖直高度都是已知的，根据平抛运动的基本公式即可求解；
（3）物块落到B、C两点前瞬时速度vB、vC大小都可以通过v=求得，关系也就得到了．
【解析】
（1）物块从A→C→D过程中，根据动能定理得：
         mgxACsin45°-μmgxACcos45°-μmgxCD=0

    （2）A→B：x1=v1t1
         A→C：x2=v2t2
         A→D：2x2=v3t3
         因，y2=2y1，
         所以，
         因t2=t3，所以
         初速度之比v1：v2：v3=
    （3）根据平抛运动末速度v=可知：
         ，==
         所以
答：（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ为0.5；（2）初速度之比v1：v2：v3为； （3）物块落到B、C两点前瞬时速度vB、vC分别为、，所以得证．