Question

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球．已知O点到斜面底边的距离s_OC=L． 
（1）试证明小球只要能在光滑斜面上做完整的圆周运动，则在最高点A和最低点B时细线上拉力之差为恒量．
（2）若小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球运动到A点或B点时细线断裂，若两种情况下小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，则l和L应满足什么关系？

Answer

（1）小球从最高点运动到最低点机械能守恒，列出等式表示出小球在A、B两点时的速度分别为vA、vB
的关系．在A、B两点对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律求解．
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零．根据圆周运动规律和牛顿第二定律求出A点速度．小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律列出等式求出B点速度．小球运动到A点火B点时细线断裂，小球在平行于底边的方向上匀速运动，在垂直于底边的方向上做初速为零的匀加速运动，根据运动规律求解．
【解析】
（1）设小球在A、B两点时的速度分别为vA、vB
则由机械能守恒：
在A点：
在B点：
则A、B两点拉力之差TB-TA=6mgsinθ    此为一恒量
（2）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过A点时细线的拉力为零．根据圆周运动规律和牛顿第二定律有   ，
解得 ．
小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有
，
解得 ．                     
小球运动到A点火B点时细线断裂，小球在平行于底边的方向上匀速运动，在垂直于底边的方向上做初速为零的匀加速运动（类平抛运动）．
细线在A点断裂：，sA=vAtA，
细线在B点断裂：，sB=vBtB，
又 sA=sB，联立解得 ．            
答：（1）证明过程在上面．
（2）l和L应满足关系是．