Question

如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h=1.6m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）物体第一次通过C点时轨道对物体的支持力F_N的大小；
（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L_AB至少要多长；
（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer

（1）由机械能守恒可求得物体在C点的速度，C点物体做圆周运动，则由牛顿第二定律充当向心力可求得支持力；
（2）要使物体不飞出，则到达A点时速度恰为零，则由动能定理可求得AB的长度；
（3）由于摩擦力小于重力的分力，则物体不会停在斜面上，故最后物体将稳定在C为中心的圆形轨道上做往返运动，由功能关系可求得热量Q．
【解析】
（1）物体从E到C，由机械能守恒得：mg（h+R）=mvc2；     ①
在C点，由牛顿第二定律得：FN-mg=m  ②
联立①、②解得支持力 FN=12.4N         ③
（2）从E～D～C～B～A过程，由动能定理得
WG-Wf=0                           ④
WG=mg[（h+Rcos37°）-LABsin37°]⑤
Wf=μmgcos37°LAB                  ⑥
联立、④、⑤、⑥解得
斜面长度至少为：LAB=2.4m       ⑦
（3）因为，mgsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物体不会停在斜面上．物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿圆弧轨道做往返运动．
从E点开始直至稳定，系统因摩擦所产生的热量
Q=△EP                         ⑧
△EP=mg（h+Rcos37°）     ⑨
联立⑥、⑦解得Q=4.8J    ⑩
在运动过程中产生热量为4.8J．