Question

半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有凹槽，质量为m_A的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的动摩擦因数为μ，质量为m_B的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的．AB间用一长为l（l＜R）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连．已知圆台做匀速转动，且A、B两物体相对圆台不动（A、B两物体可视为质点，物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）．
（1）当圆台转动的角速度为ω，OA的长度为l₁时，试写出A、B两个物体受到的向心力大小的表达式．
（2）不论圆台转动的角速度为多大，要使物体A和槽之间恰好没有摩擦力，则OA的长为多大？
（3）设OA长为x，试分析圆台的角速度ω和物体A到圆心的距离x所应满足的条件．

Answer

（1）已知转动角速度，由题意可知两物体的转动半径，由向心力公式可求得向心力大小的表达式；
（2）要使A球不受摩擦力，应使绳子的拉力充当两物体的向心力，则两球需要的向心力相等，联立两式可解得距离；
（3）可分为两物体恰无摩擦力、A恰好达到最大静摩擦力和B恰好达到最大静摩擦力三种情况分析，由牛顿第二定律可得出角速度及距离的可能值．
【解析】
（1）由向心力公式可得：
A向心力大小的表达式：FA=mAω2l1      
B的向心力：FB=mBω2（l-l1）   
（2）设OA长为l1，则OB为l-l1；
F=mAω2l1       
F=mBω2（l-l1）   
解得 ．
（3）当A、B两物体相对转台静止且恰无摩擦时，物体A、B的动力学方程分别为
F=mAω2x，F=mBω2（l-x），联立解得
当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做远离轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为
F+μmAg=mAω2x，F=mBω2（l-x）
，
当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做向轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为
F-μmAg=mAω2x，F=mBω2（l-x）
，
综上分析可知