Question

如图所示为过山车简易模型，它是由光滑水平轨道和竖直面内的光滑圆轨道组成，Q点 为圆形轨道最低点，M点为最高点，圆形轨道半径R=0.32m．水平轨道PN右侧的水平 地面上，并排放置两块长木板c、d，两木板间相互接触但不粘连，长木板上表面与水平轨 道PN平齐，木板c质量m₃=2.2kg，长L=4m，木板d质量m₄=4.4kg．质量m₂=3.3kg 的小滑块b放置在轨道QN上，另一质量m₁=1.3kg的小滑块a从P点以水平速度v向 右运动，沿圆形轨道运动一周后进入水平轨道与小滑块b发生碰撞，碰撞时间极短且碰 撞过程中无机械能损失．碰后a沿原路返回到M点时，对轨道压力恰好为0．已知小滑 块b与两块长木板间动摩擦因数均为μ=0.16，重力加速度g=10m/s²．
（1）求小滑块a与小滑块b碰撞后，a和b的速度大小v₁和v₂；
（2）若碰后滑块b在木板c、d上滑动时，木板c、d均静止不动，c、d与地面间的动摩擦因 数μ至少多大？（木板c、d与地面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦 力）
（3）若不计木板c，d与地面间的摩擦，碰后滑块b最终恰好没有离开木板d，求滑块b在 木板c上滑行的时间及木板d的长度．

Answer

（1）a恰好通过M对轨道没有压力，重力提供a做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可以求出a的速度，a与b碰撞过程中系统动量守恒、机械能守恒，a碰后返回到圆轨道最高点过程中，机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰后a、b的速度．
（2）当b与c上表面的滑动摩擦力小于等于c、d与地面间的摩擦力时，c、d不动．
（3）b做匀减速运动，c、d做匀加速运动，由牛顿第二定律与运动学公式可以求出b的滑行时间与木板长度．
【解析】
（1）小滑块a在M点，由牛顿第二定律得：m1g=，
小滑块a从碰后到到达M的过程中，由机械能守恒定律得：
m1v12=m1vM2+m1g•2R，解得：v1=4m/s，
两滑块碰撞过程中动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：m1v=-m1v1+m2v2，
碰撞过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：
m1v2=m1v12+m2v22，
解得：v=9.2m/s，v2=5.2m/s；
（2）若b在d上滑动时d能静止，则b在c上滑动时，c与d一定能静止，
μ（m2+m4）g＞μm2g，解得μ＞0.069；
（3）小滑块b滑上长木板c时的加速度大小a1=μg=1.6m/s2，
此时两块长木板的加速度大小a2==0.8m/s2，
小滑块b在c上滑行过程中，b的位移：x1=v2t-a1t2，
两块长木板的位移x2=a2t2，x1-x2=L，
解得：t=1s，t=s不合题意，舍去；
b刚离开长木板c时，b的速度v2′=v2-a1t=3.6m/s，
b刚离开长木板c时，d的速度v3=a2t=0.8m/s，
设d的长度至少为x，由动量守恒定律可得：
m2v2′+m4v3=（m2+m4）v，解得v=2m/s，
由能量守恒定律得：μm2gx=m2v2′2+m4v32-（m2+m4）v2，
解得：x=1.4m．
答：（1）小滑块a与小滑块b碰撞后，a和b的速度大小v1=4m/s，v2=5.2m/s；
（2）c、d与地面间的动摩擦因 数μ至少为0.069；
（3）滑块b在木板c上滑行的时间为1s，木板d的长度为1.4m．