Question

如图（a）所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板之间有一带负电的质点P．已知若在A、B间加电压U_o，则质点P可以静止平衡．现在A、B间加上如图（b）所示的随时间t变化的电压u．在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为零．已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图（b）中u改变的各时刻t₁、t₂、t₃及t_n的表达式．（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次．）

Answer

先求出加速上升的加速度和减速上升的加速度，根据运动学公式列式求解出t1；再计算出加速下降和减速下降的加速度，根据运动学公式求解出t2；然后逐步扩展到第n次上升和下降．
【解析】
设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U时，有
=mg，
当两板间的电压为2U时，P的加速度向上，其大小为a，则
-mg=ma，
解得a=g．
当两板间的电压为零时，P自由下落，加速度为g，方向向下．
在t=0时，两板间的电压为2U，P自A、B间的中点向上做初速度为零的匀加速运动，加速度为g．设经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动，再经过时间τ1′，P正好到达A板且速度为零，故有
v1=gτ1，0=v1-gτ1′，
d=gτ12+v1τ1′-gτ1′2，
由以上各式，得
τ1=τ1′，τ1=，
因为t1=τ1，得t1=．
在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，速度变为v2，方向向下，这时加上电压使P做匀减速运动，经过时间τ2′，P到达B板且速度为零，故有
v2=gτ2，0=v2-gτ2′，
d=gτ22+v2τ2′-gτ2′2，
由以上各式，得τ2=τ2′，τ2=，
因为t2=t1+τ1′+τ2，
得t2=（+1）．
在电场力与重力的合力作用下，P由B板处向上做匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动．经过时间τ3′，P正好到达A板且速度为零，故有
v3=gτ3，0=v3-gτ3′，
d=gτ32+v3τ3′-gτ3′2
由上得τ3=τ3′，τ3=，
因为t3=t2+τ2′+τ3，
得t3=（+3）．
根据上面分析，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过时间τ2，再加上电压，经过时间τ2′，P到达B且速度为零，因为t4=t3+τ3′+τ2，
得t4=（+5）．
同样分析可得
tn=（+2n-3）．（n≥2）
故图（b）中u改变的各时刻t1=，t2=（+1），t3=（+3），及tn=（+2n-3）（n≥2）．