Question

某同学用一个光滑的半圆形轨道和若干个大小相等、可视为质点的小球做了三个有趣的实验，轨道固定在竖直平面内，且两端同高．第一次，他将一个小球从离轨道最低点的竖直高度h处由静止沿轨道下滑（h远小于轨道半径），用秒表测得小球在轨道底部做往复运动的周期为T；第二次，他将小球A放在轨道的最低点，使另一个小球B从轨道最高点由静止沿轨道滑下并与底部的小球碰撞，结果小球B返回到原来高度的1/4，小球A也上滑到同样的高度；第三次，用三个质量之比为m₁：m₂：m₃=5：3：2的小球做实验，如图所示，先将球m₂和m₃放在轨道的最低点，球m₁从某一高度由静止沿轨道下滑，它们碰后上升的最大高度分别为h₁、h₂和h₃，不考虑之后的碰撞．设实验中小球间的碰撞均无能量损失．重力加速度为g．求：
（1）半圆形轨道的半径R；
（2）第二次实验中两小球的质量之比m_A：m_B；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h₁：h₂：h₃．

Answer

（1）根据单摆周期公式求出圆形轨道半径．
（2）由机械能守恒定律可以求出小球速度．
（3）由动量守恒定律与机械能守恒定律列方程解题．
【解析】
（1）第一次实验中，小球的运动可以看做摆长为R的单摆，
由单摆周期公式得：T=2π，则R=；
（2）第二次实验中，球B从高为R处释放，设球B与球A碰撞前瞬间的速度大小为vB，
碰撞后瞬间它们速度的大小分别为vB′和vA．由题意知，球B与A碰后达到的高度均为，
由机械能守恒定律得：
mBvB2=mBgR，mBvB′2=mBg
mAvA′2=mAg，
所以vB=，vA=vB′=，
由动量守恒定律得：mBvB=-mBvB′+mAvA，解得=，
（3）根据题意设球1、2、3的质量分别为5m、3m和2m．设球1与球2碰撞前后的速度分别为v1、v1′，球2与球3碰撞前后的速度分别为v2、v2′，球3与球2碰撞后的速度为v3．
球1与球2碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有：
5mv1=5mv1′+3mv2，
×5mv12=×5mv1′2+×3mv22，
解得：v1′=v1，v2=v1，
球2与球3碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
3mv2=3mv2′+3mv3，×3mv22=×3mv2′2+×2mv32，
解得：v2′=v1，v3=v1，
在三个小球的上升过程中，根据机械能守恒定律有
×5mv1′2=5mgh1，
×3mv2′2=3mgh2，
×2mv3′2=2mgh3，
解得：h1：h2：h1=1：1：36；
答：（1）半圆形轨道的半径R=；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA：mB=3：1；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1：h2：h3=1：1：36．