Question

如图所示，空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子（不计重力）从A点沿OA方向射出．
求：
（1）离子在磁场中做匀速圆圈运动的周期；
（2）若向外的磁场范围足够大，离子自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，最后又能返回A点，求其返回A点的最短时间及对应离子的速度．
（3）若向外的磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述离子仍从A点沿OA方向射出，且微粒仍能返回A点，求其返回A点的最短时间．（可能用到的三角函数值：sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer

（1）离子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律和圆周运动知识求解离子在磁场中做匀速圆圈运动的周期；
（2）作出轨迹如图，离子从A点射出后，分别经过一次进出向里的磁场返回A所用时间最短，得到时间与周期的关系式．由几何知识求出轨迹的半径，由半径公式求解速度．
（3）离子的运动轨迹恰好不超出向外的磁场边界时，离子的轨迹恰好与外边界相切．画出轨迹可知，离子分别进出里磁场两次时时间最短，由几何知识求出离子轨迹半径和运动时间．
【解析】
（1）离子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
  qvB=m
又周期为 T=   
解得，T=
（2）作出轨迹如图，离子从A点射出后，分别经过一次进出向里的磁场返回A所用时间最短，最短时间 
将代入得：
由图可知：
由向心力公式得：
由以上两式可得：
（3）如图由几何知识可知离子运动轨迹不超出边界须有：≤2R    
得  r≤
如图有：，即：≤，解得：n≥4.86
由于n要取整数，所以n=5时，离子返回A的时间最短      
由离子轨迹得：
将代入上式得：
答：
（1）离子在磁场中做匀速圆圈运动的周期是；
（2）返回A点的最短时间是，对应离子的速度是．
（3）返回A点的最短时间为．