Question

回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展．
（1）当今医学成像诊断设备PET/CT堪称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射电子的同位素碳11为示踪原子，碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程．若碳11的半衰期τ为20min，经2.0h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果取2位有效数字）
（2）回旋加速器的原理如图，D₁和D₂是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D₁圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D₁、D₂置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中．若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中运动的时间，其最大速度远小于光速）
（3）试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？

Answer

（1）根据质量数守恒和核电荷数守恒书写核反应方程式．根据半衰期的定义写成剩余质量和总质量的关系式即可求解．
（2）根据电流的定义式I=和Q=Nq以及P=求解．
（3）求出rk所对应的加速次数和rk+1所对应的加速次数即可求出它们所对应的轨道半径，然后作差即可求出rk和rk+1，从而求出△rk，运用同样的方法求出△rk+1，比较△rk和△rk+1即可得出答案．
【解析】
（1）核反应方程为714N+11H→611C+24He…①
设碳11原有质量为m，经过t=2.0h剩余的质量为mt，根据半衰期定义，有：
…②
（2）设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知：…③
质子运动的回旋周期为：…④
由回旋加速器工作原理可知，交变电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系可得：…⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率…⑥
输出时质子束的等效电流为：…⑦
由上述各式得
（3）方法一：
设k（k∈N*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk，rk+1（rk＜rk+1），△rk=rk+1-rk，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk，vk+1，D1、D2之间的电压为U，
由动能定理知…⑧
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，
则…⑨
整理得 …⑩
因U、q、m、B均为定值，令，由上式得…（11）
相邻轨道半径rk+1，rk+2之差△rk+1=rk+2-rk+1
同理 
因为rk+2＞rk，比较△rk，△rk+1得△rk+1＜△rk
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小
方法二：
设k（k∈N*）为同一盒子中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为rk，rk+1（rk＜rk+1），△rk=rk+1-rk，
在相应轨道上质子对应的速度大小分别为vk，vk+1，D1、D2之间的电压为U
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，故…（12）
由动能定理知，质子每加速一次，其动能增量△Ek=qU  …（13）
以质子在D2盒中运动为例，第k次进入D2时，被电场加速（2k-1）次
速度大小为…（14）
同理，质子第（k+1）次进入D2时，被电场加速（2k+1）次，速度大小为
综合上述各式可得
整理得，

同理，对于相邻轨道半径rk+1，rk+2，△rk+1=rk+2-rk+1，整理后有

由于rk+2＞rk，比较△rk，△rk+1得△rk+1＜△rk
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小，用同样的方法也可得到质子在D1盒中运动时具有相同的结论．