Question

如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，两导轨间距L=1m，导轨的电阻可忽略．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量m=1kg、电阻r=0.2Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好．整套装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．自图示位置起，杆ab受到大小为F=0.5v+2（式中v为杆ab运动的速度，力F的单位为N）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大．g取10m/s²，sin37°=0.6．
（1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并请写出推理过程；
（2）求电阻R的阻值；
（3）已知金属杆ab自静止开始下滑x=1m的过程中，电阻R上产生的焦耳热为Q₁=0.8J，求该过程需要的时间t和拉力F做的功W．

Answer

（1）根据闭合电路欧姆定律得到通过电阻R的电流与速度的关系，根据通过电阻R的电流随时间均匀增大，分析速度如何变化，判断金属杆做何种运动．
（2）根据牛顿第二定律得到加速度与速度的表达式，由于匀加速运动，加速度与速度无关，求出加速度的大小，再求解R．
（3）由位移公式求出金属杆ab自静止开始下滑通过位移x=1m所需的时间t．电路中总的焦耳热为Q=Q1，根据能量守恒定律求解拉力F做的功W．
【解析】
（1）通过R的电流I==，由题意，通过R的电流I随时间均匀增大，则知杆ab的速度v随时间均匀增大，杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速运动．     
（2）杆所受的安培力大小为 FA=BIL=BL=
对杆，根据牛顿第二定律有：F+mgsinθ-FA=ma，
将F=0.5v+2代入得：2+mgsinθ+（0.5-）v=ma，
因匀加速运动的加速度a与v无关，
所以a==8m/s2，
0.5-=0，
得R=0.3Ω      
（3）由x=at2得，所需时间t==s=0.5s，此时ab杆的速度为v=at=4m/s                   
电路中总的焦耳热为：Q=Q1=×0.8J=J
由能量守恒定律得：W+mgxsinθ=Q+mv2  
解得：W=J≈3.3J        
答：（1）金属杆做匀加速运动．
（2）电阻R的阻值是0.3Ω．
（3）该过程需要的时间t是0.5s，拉力F做的功W是3.3J．