Question

如图所示，光滑的平行金属导轨CD与EF间距为L=l m，与水平夹角为θ=30°，导轨上端用导线CE连接（导轨和连接线电阻不计），导轨处在磁感应强度为B=0.1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中．一根电阻为R=1Ω的金属棒MN两端有导电小轮搁在两导轨上，棒上有吸水装置P．取沿导轨向下为x轴正方向，坐标原点在CE中点，开始时棒处在x=0位置（即与CE重合），棒的起始质量不计．当棒自静止起下滑时，便开始吸水，质量逐渐增大，设棒质量的增大与位移x的平方根成正比，即m=，k为一常数，k=0.1kg/m．求：
（1）金属棒下滑2m位移过程中，流过棒的电荷量是多少？
（2）猜测金属棒下滑过程中做的是什么性质的运动，并加以证明．
（3）金属棒下滑2m位移时速度为多大？

Answer

（1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出电路中产生的平均感应电流大小，即可求得流过棒的电荷量；
（2）通过分析受力情况，来分析金属棒的运动情况：棒从静止开始运动，首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大，如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动． 假设棒做的是匀加速运动，根据牛顿第二定律求出加速度的表达式，根据加速度，分析假设是否正确．
（3）根据第2问分析得知，棒做匀加速运动，将x=2m代入加速度的表达式，求出加速度，由运动学公式求解速度．
【解析】
（1）金属棒下滑1m过程中，流过棒的电量为 
   q===C=0.2C
（2）由于棒从静止开始运动，因此首先可以确定棒开始阶段做加速运动，然后通过受力分析，看看加速度可能如何变化．
如图所示，棒在下滑过程中沿导轨方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F．由于m随位移x增大而增大，所以，mgsinθ是一个变力；而安培力与速度有关，也随位移增大而增大，如果两个力的差值恒定，即合外力是恒力的话，棒有可能做匀加速运动． 假设棒做的是匀加速运动，且设下滑位移x时的加速度为ax，根据牛顿第二定律，有
   mgsinθ-F=max，
 而安培力F=BIL=B=
所以mgsinθ-=max，
假设棒做匀加速直线运动，则瞬时速度v=，由于m=k，代入后得：kgsinθ-=kax，
则得kgsinθ-=kax，①
从上述方程可以看出的解ax是一个定值，与位移x无关，这表明前面的假设成立，棒的运动确实是匀加速直线运动．若ax与位移x有关，则说明ax是一个变量，即前面的假设不成立．
（3）为了求棒下滑2m时的速度，应先求出棒的加速度．将题目给出的数据代①式得到
   0.1×10×-=0.1a
化简得 10a+•-50=0
令y=，则得 y2+y-50=0
解得，a=4.69m/s2
根据匀变速运动规律，v===4.33m/s
答：（1）金属棒下滑2m位移过程中，流过棒的电荷量是0.2C．
（2）猜测金属棒下滑过程中做的是做匀加速运动，证明如上．
（3）金属棒下滑2m位移时速度为4.33m/s．