Question

如图（甲）所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个阻值为2Ω的定值电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd的电阻r=2Ω，导轨电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T．若棒以1m/s的初速度向右运动，同时对棒施加水平向右的拉力F作用，并保持拉力的功率恒为4W，从此时开始计时，经过一定时间t金属棒的速度稳定不变，电阻R中产生的电热为3.2J，图（乙）为安培力与时间的关系图象．试求：
（1）金属棒的最大速度；
（2）金属棒速度为2m/s时的加速度；
（3）此过程对应的时间t；
（4）估算0～3s内通过电阻R的电量．

Answer

（1）当金属棒所受的拉力和安培力相等时，受到最大，根据P=Fvm，F=BIL联立求出金属棒的最大速度．
（2）求出金属棒速度为2m/s时的感应电动势，从而求出感应电流的大小，根据F=BIL求出安培力的大小，再通过牛顿第二定律求出加速度的大小．
（3）克服安培力做的功全部转化为整个回路的热量，通过电阻R中产生的电热求出整个回路产生的电热，根据动能定理，通过拉力做功W=Pt求出此过程对应的时间．
（4）因为△q=，根据图线所围成的面积求出FA△t，从而得出0～3s内通过电阻R的电量．
【解析】
（1）金属棒的速度最大时，所受的合外力为零，即F=BIL．
而P=Fvm，I=
解出：．
（2）速度为2m/s时，感应电动势E=BLv=2×0.5×2V=2V，
电流I=，
安培力F安=BIL=2×0.5×0.5N=0.5N．
金属棒受到的拉力F=
根据牛顿第二定律：F-F安=ma
解得a=．
（3）在此过程中，由动能定理得：

而W安=-（QR+Qr）=-2QR=-6.4J．
解出t=s=1.975s．
（4）图线与横轴之间共有124+15×=131.5个小方格．
相应的面积为131.5×0.2×0.1N．s=2.63N．s，即F安△t=2.63N．s
故=．
答：（1）金属棒的最大速度为4m/s．
（2）金属棒速度为2m/s时的加速度为7.5m/s2．
（3）此过程对应的时间t为1.975s．
（4）0～3s内通过电阻R的电量2.63C．