Question

如图（a），小球甲固定于水平气垫导轨的左端，质量m=0.4kg的小球乙可在导轨上无摩擦地滑动，甲、乙两球之间因受到相互作用而具有一定的势能，相互作用力沿二者连线且随间距的变化而变化．现已测出势能随位置x的变化规律如图（b）中的实线所示．已知曲线最低点的横坐标x=20cm，虚线①为势能变化曲线的渐近线，虚线②为经过曲线上某点的切线．

（1）将小球乙从x₁=8cm处由静止释放，小球乙所能达到的最大速度为多大？
（2）假定导轨右侧足够长，将小球乙在导轨上从何处由静止释放，小球乙不可能第二次经过x=20cm的位置？并写出必要的推断说明；
（3）若将导轨右端抬高，使其与水平面的夹角α=30°，如图（c）所示．将球乙从x₂=6cm处由静止释放，小球乙运动到何处时速度最大？并求其最大速度；
（4）在图（b）上画出第（3）问中小球乙的动能E_k与位置x的关系图线．

Answer

（1）根据功能关系可知，当势能最小时，动能最大，速度最大．
（2）根据题意正确进行受力分析，明确小球的运动形式，根据能量守恒可正确解答．
（3）由图得出释放时的势能便是整个运动过程中的总能量，根据能量转化与守恒可知势能最小时动能最大，据此可求得最大速度和最大位移．
（4）图象是关于图线 III与图线 II对称的曲线．
【解析】
（1）球乙运动到x=20cm位置时势能最小，速度最大，由能量守恒可得：

解出：
答：小球乙所能达到的最大速度为1m/s．
（2）在0＜x＜6cm区间内将小球乙由静止释放，不可能第二次经过x．
原因：在0＜x＜6cm区间内两球之间的作用力为排斥力，在20cm＜x＜∞区间内两球之间作用力为吸引力，无穷远处和6cm处的势能为0.28J．若小球乙的静止释放点在6cm＜x＜∞区间，小球乙做往复运动，多次经过x=20cm的位置．而静止释放点在0＜x＜6cm区间内时，初态势能大于0.28J，小球乙将会到无穷远处而无法返回，只能经过x位置一次．
（3）x3=12cm处的切线斜率，
表明此处乙球受到甲球2N的排斥力，乙球此处受到重力的分力为mgsinα=2N．
所以，乙球在x3=12cm处时，所受合外力等于零，速度最大．
从图中读出x3=12cm处的势能EP3=0.1J，x2=6cm处的势能Ep2=0.28J，
能量守恒：
解出：=
答：小球乙运动到x3=12cm时速度最大，其最大速度为0.55m/s．
（4）得出图象如下所示，注意几个特殊位置，x2=6cm处的动能为Ek=0；x3=12cm处的动能Ek=0.06J，x4=20cm处的动能Ek=0J．