Question

如图所示，两根足够长固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒L₁和L₂，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B．两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持L₁向上作速度为v的匀速运动，在t=0时刻将靠近L₁处的L₂由静止释放（刚释放时两棒的距离可忽略），经过一段时间后L₂也作匀速运动．已知d=0.5m，m=0.5kg，R=0.1Ω，B=1T，g取10m/s²．
（1）为使导体棒L₂向下运动，L₁的速度v最大不能超过多少？
（2）若L₁的速度v为3m/s，在坐标中画出L₂的加速度a ₂与速率v₂ 的关系图象；
（3）若L₁的速度v为3m/s，在L₂作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，求在此时刻前L₂运动的距离．

Answer

（1）L1向上作匀速运动，切割磁感线产生感应电流，L2受到向上的安培力，当L2 的重力大于所受的安培力时，导体棒L2向下运动．
（2）当L1向上运动，L2向下运动时，回路中产生两个感应电动势，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和牛顿第二定律推导出L2的加速度a 2与速率v2 的关系式，作出图象．
（3）在L2作匀速运动之前做变加速运动，根据加速度的定义式a=，用积分法求解L2运动的距离．
【解析】
（1）L2刚释放时电路中电动势E1=Bdυ
                     回路中电流
          L2受到的安培力F=BI1d
          要使导体棒L2能向下运动，则mg＞F，得  υ＜4m/s
    （2）当L2运动速度为υ2时，回路中电动势E=Bd（υ+υ2）
         回路中感应电流I= 
         导体棒L2的所受的安培力F=BIL=
          加速度
        代入整理得 a=2.5-2.5υ2
      作图如图．
   （3）当导体棒L2做匀速运动时，L1和L2两棒的速度分别是υ和υ2，
          由平衡条件得，得υ+υ2=4m/s
      设当导体棒L2、L1的相对速度为υ相=4m/s时，棒L2的加速度  =
     取极短时间△t，在时间△t内速度变化△υ，

             则
            又υ相△t=△x相      得
      代入数据得两棒间距为x相=4m，所用时间t=1.1s
     导体棒L1运动的位移x1=υt=3×1.1m=3.3m
     导体棒L2运动的位移x2=x相-x1=0.7m
答：（1）为使导体棒L2向下运动，L1的速度v最大不能超过4m/s．
    （2）L2的加速度a 2与速率v2 的关系图象如上图所示．
    （3）若L1的速度v为3m/s，在L2作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，在此时刻前L2运动的距离为0.7m．