Question

如图所示的平面直角坐标系，x轴水平，y轴竖直，第一象限内有磁感应强度大小为B，方向垂直坐标平面向外的匀强磁场；第二象限内有一对平行于x轴放置的金属板，板间有正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿y轴负方向，场强大小未知，磁场垂直坐标平面向里，磁感应强度大小也为B；第四象限内有匀强电场，电场方向与x轴正方向成45°角斜向右上方，场强大小与平行金属板间的场强大小相同．现有一质量为m，电荷量为q的粒子以某一初速度进入平行金属板，并始终沿x轴正方向运动，粒子进入第一象限后，从x轴上的D点与x轴正方向成45°角进入第四象限，M点为粒子第二次通过x轴的位置．已知OD距离为L，不计粒子重力．求：
（1）粒子运动的初速度大小和匀强电场的场强大小．
（2）DM间的距离．（结果用m、q、v、L和B表示）

Answer

（1）、带点粒子在第二象限的金属板之间运动时，沿x轴的正方向运动，说明带电粒子在竖直方向上受力平衡，即受到的电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反；带电粒子进入第一象限后，在洛伦兹力的作用下做圆周运动，由几何关系确定圆心，并求出轨迹的半径，带电粒子做圆周运动的向心力是洛伦兹力．综上所述，列式即可求出带电粒子的初速度和电场强度的大小．
（2）、经对带电粒子的受力情况和初速度的分析可知，带电粒子在第四象限内做类平抛运动，把位移沿垂直于电场的方向和沿电场的方向进行分解，在这两个方向上由运动学公式列式，结合几何关系，便可求出DM的距离．
【解析】

（1）、粒子在板间受电场力和洛伦兹力做匀速直线运动，设粒子初速度为v，由平衡条件有：
qvB=qE…①
粒子在第一象限内做匀速圆周运动，圆心为O1，半径为R，轨迹如图，
由几何关系知：…②
由牛顿第二定律和圆周运动的向心力公式有：…③
由②③式解得：…④
由①④式解得：…⑤
（2）、由题意可知，粒子从D进入第四象限后做类平抛运动，轨迹如图，设粒子从D到M的运动时间为t，将运动分解在沿场强方向和垂直于场强的方向上，则粒子沿DG方向做匀速直线运动的位移为：
…⑥
粒子沿DF方向做匀加速直线运动的位移为：
…⑦
由几何关系可知：，…⑧
由⑤⑥⑦⑧式可解得：
答：（1）粒子运动的初速度大小和匀强电场的场强大小为；
（2）DM间的距离．