Question

如图所示，在光滑绝缘的水平台面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E．水平台面上放置两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球质量均为m，A球带电荷量为+Q，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失，设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力，试求：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为多大？
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞时所经历的总时间为多少？
（3）若要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面（v=0时刻除外），可以在水平面内加一与电场正交的磁场．请写出磁场B_（t）与时间t的函数关系．

Answer

（1）根据牛顿第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球与B球碰撞前的速度．由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度．
（2）根据速度公式求出第一次碰撞时间．第一次碰后，A球追及B球，当位移相等时，发生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞时间．同理求解第三次碰撞时间．
（3）要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面，洛伦兹力与重力平衡．采用归纳法分别分析从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程、第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程、从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程…由A球竖直方向力平衡得到B（t）与时间t的关系式，总结出规律，再求磁场B（t）与时间t的函数关系．
【解析】
（1）A球的加速度为a=
碰前A的速度为vA1==，碰前B的速度为vB1=0由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度，则碰撞后A、B的速度分别
vA1′=0，vB1′=vA1=．
（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时间分别为t1、t2、t3．
则t1==
第一次碰后，经t2-t1时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度为vA2和vB2，则有
vB1′（t2-t1）=a（t2-t1）2
解得，t2=3t1
vA2=a（t2-t1）=2at1=2vA1=2．
vB2=vB1′=．
第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为
vA2′和vB2′，经t3-t2时间A、B两球发生碰撞，并设碰撞前瞬间A、B两球速度分别vA3和vB3
则vA2′=vB2=．
vB2′=vA2=2．
当vB2′（t3-t2）=vA2′（t3-t2）+a（t3-t2）2发生第三次碰撞
解得，t3-t2=t2-t1，t3=5．
（3）对A球，要求A在运动过程中对桌面始终无压力且刚好不离开水平桌面，洛伦兹力与重力恰好平衡，得
   BQvA=mg，得B=，A球的加速度为 a=
则从A球开始运动到发生第1次碰撞这段过程中，
   B（t）=  0＜t≤
从第1次碰撞到发生第2次碰撞这段过程中，
   B（t）=  ≤t≤3
从第2次碰撞到发生第3次碰撞这段过程中，
   B（t）=   3≤t≤5
从第3次碰撞到发生第4次碰撞这段过程中，
 B（t）=   5≤t≤7
   …
以此类推，从第n次碰撞到发生第n+1次碰撞这段过程中，
  B（t）=  （2n-1）≤t≤（2n+1）  （n=1，2，3，…）
答：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为0和．
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞时所经历的总时间为5．
（3）磁场B（t）与时间t的函数关系是 B（t）= （2n-1）≤t≤（2n+1） （n=1，2，3，…）．