Question

如图甲所示，两平行金属板间接有如图乙所示的随时间t变化的交流电压u，金属板间电场可看做均匀、且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.1m，在金属板右侧有一左边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度 B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度v=10⁵m/s，比荷=10⁸C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视为恒定不变．求：
（1）垂直边界MN进入磁场的带电粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）为了使射入电场的带电粒子全部进入磁场，交变电压的最大值u_m和粒子进入磁场的最大速度；
（3）所有进入磁场的带电粒子经磁场偏转后从边界MN上哪个范围离开磁场的．

Answer

（1）有洛伦兹力提供向心力求出带电粒子在磁场中运动的轨道半径．
（2）将带电粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，水平方向为匀速运动，竖直方向为初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式列式求解；
带电粒子从平行板边缘射出时，电场力做功最多，获得的动能最大，根据动能定理列式求解；
（3）经过电场偏转后，粒子速度向上偏转或向下偏转，画出可能的轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力得到轨道半径，通过几何关系求解．
【解析】
（1）带电粒子垂直边界MN进入磁场时，v=v：

 =0.2m
（2）带电粒子恰好从极板边缘射出电场时，偏转电压应为um：

um=25V
带电粒子刚好从极板边缘射出电场时速度最大，设最大速度为vm，由动能定理

m/s
（3）设粒子进入磁场时速度方向与OO'的夹角为θ
则任意时刻粒子进入磁场的速度大小
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R

设带电粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离为l
=0.4m            
由上式可知，射出电场的任何一个带电粒子，进入磁场时的入射点与射出磁场时的出射点间距离为定值，
l与θ无关，与所加电压值无关．        
考虑粒子在电场中向上（设沿M方向为向上）或向下两种偏转可能，设粒子离开磁场时在点的上方且距离点为Y的位置，则：

当粒子在两板间受到向上电场力作用时，Y的范围为0.40m～0.45m
当粒子在两板间受到向下电场力作用时，Y的范围为0.35m～0.40m
所以粒子在边界MN上距点上方0.35m～0.45m范围内离开磁场的．
答：（1）垂直边界MN进入磁场的带电粒子在磁场中运动的轨道半径是0.2m；
（2）为了使射入电场的带电粒子全部进入磁场，交变电压的最大值是25V，粒子进入磁场的最大速度是m/s；
（3）粒子在边界MN上距点上方0.35m～0.45m范围内离开磁场的．