Question

如图所示，在xOy坐标系中，第一象限存在一与xOy平面平行的匀强电场，在第二象限存在垂直于纸面的匀强磁场．在y轴上的P点有一静止的带正电的粒子，某时刻，粒子在很短时间内（可忽略不计）分裂成三个带正电的粒子1、2和3，它们所带的电荷量分别为q₁、q₂和q₃，质量分别为m₁、m₂和m₃，且q₁：q₂：q₃=1：1：2，m₁+m₂=m₃．带电粒子1和2沿x轴负方向进人磁场区域，带电粒子3沿x轴正方向进入电场区域．经过一段时间三个带电粒子同时射出场区，其中粒子1、3射出场区的方向垂直于x轴，粒子2射出场区的方向与x轴负方向的夹角为60°．忽略重力和粒子间的相互作用．求：
（1）三个粒子的质量之比；
（2）三个粒子进入场区时的速度大小之比；
（3）三个粒子射出场区时在x轴上的位移大小之比．

Answer

（1）根据粒子做匀速圆周运动，由周期公式得出粒子1、2的周期关系，从而可算出两者的质量关系，由题意可求出三粒子的质量之比；
（2）根据粒子做匀速圆周运动，由半径公式可列出半径与运动速度、电量及质量的关系，再根据运动轨迹的几何关系可确定粒子1、2的速度关系．最后由动量守恒从而求出三个粒子进入场区时的速度大小之比；
（3）设三个粒子出去时与x轴的位移，由粒子做的运动轨迹可确定1、2粒子的位移与半径的关系．再根据3粒子沿x轴方向做匀减速运动，由运动学公式可算出其位移大小，最后确定三个粒子射出场区时在x轴上的位移大小之比．
【解析】
（1）设粒子1、2在磁场中做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2．则有
，

由题意可知：
所以
又因为m1+m2=m3
所以m1：m2：m3=2：3：5
（2）设粒子1、2在磁场中做匀速圆周运动的半径分别为r1和r2．则有
那么：
  那么：
由几何关系可知：r2=2r1
所以
在粒子分裂的过程中，动量守恒，则
m3v3-m1v1-m2v2=0
所以v1：v2：v3=15：20：18
（3）三个粒子射出场区时在x轴上的位移分别为x1、x2和x3．
由几何关系可知：
x1=r1，

粒子3在电场中运动时，沿x轴方向的分运动是：
初速度为v3的匀减速运动，末速度为0．
设运动时间为t，
则有：=
所以
答：（1）三个粒子的质量之比为2：3：5；
（2）三个粒子进入场区时的速度大小之比为15：20：18；
（3）三个粒子射出场区时在x轴上的位移大小之比为1：：0.3π．