Question

如图所示，一个矩形线圈的ab、cd边长为L₁，ad、bc边长为L₂，线圈的匝数为N，线圈处于磁感应强度为B的匀强磁场中，并以OO′为中心做匀速圆周运动，（OO′与磁场方向垂直，线圈电阻不计），线圈转动的角速度为ω，若线圈从中性面开始计时，请回答下列问题：
（1）请用法拉第电磁感应定律证明该线圈产生的是正弦交流电．
（2）用该线圈产生的交流电通入电阻为R的电动机时，形成的电流有效值为I，请计算该电动机的输出的机械功率（其它损耗不计）．
（3）用此电动机将竖直固定的光滑U型金属框架上的水平导体棒EF从静止向上拉，已知导体棒的质量为m，U型金属框架宽为L且足够长，内有垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，导体棒上升高度为h时，经历的时间为t，且此时导体棒刚开始匀速上升，棒有效电阻为R，金属框架的总电阻不计，棒与金属框架接触良好，请计算：
①导体棒匀速上升时的速度和已知量的关系．
②若t时刻导体棒的速度为v，求t时间内导体棒与金属框架产生的焦耳热．

Answer

（1）矩形线圈的ab、cd切割磁感线，根据感应电动势公式e=BLvsinα推导感应电动势瞬时值表达式．
（2）根据能量守恒定律得到：电动机的输出的机械功率P机=P入-PQ=UI-I2R，U是电压有效值．
（3）①电机带导体棒匀速上升时，电动机的牵引力与导体棒的重力和安培力的合力平衡，推导导体棒匀速上升时的速度和已知量的关系式．
②对导体棒，电动机牵引力做正功，安培力和重力做负功，根据动能定理列方程，求出导体棒克服安培力做的功，即导体棒与金属框架产生的焦耳热．
【解析】

（1）证明：
如图所示，边长L1切割磁感线产生电动势
   e1=BL1V⊥=BL1Vsinωt   
   而线速度V=
则e1=BL1sinωt  
因有线圈两个边切割，且有N匝
所以e=2Ne1=NBL1L2ωsinωt      
即：e=Emsinωt，其中Em=NBL1L2ω．
（2）电流通过电动机时，输入的功率
P入=UI=I            
由能量守恒知：
  P入=PQ+P机
∴机械功率P机=I-I2R           
（3）①电机带导体棒匀速上升．受力如图
由平衡条件得  F=BIL+mg  
  又I=，F=  
得到=mg+
即：I-I2R=mgv+v 
②对上升h应用动能定理：
Pt-W-mgh=mv2-0        
得  Q=W=Pt-mgh-mv2 
Q=（I-I2R）t-mgh-mv2
答：
（1）证明见上．
（2）电动机的输出的机械功率为I-I2R．
（3）①导体棒匀速上升时的速度和已知量的关系是I-I2R=mgv+v．
     ②t时间内导体棒与金属框架产生的焦耳热是（I-I2R）t-mgh-mv2．