Question

如图所示，斜面底端与一水平板左端a相接，平板长2L，中心C固定在高为R=L=1m的竖直支架上，支架的下端与垂直于纸面的固定转轴O连接，因此平板可绕转轴O沿顺时针方向翻转．当把质量m=0.5kg的小物块A轻放在C点右侧离C点0.2m处时，平板左端a恰不受支持力．A与斜面间和平板的动摩擦因数均为μ=0.2，A从斜面由静止下滑，不计小物块在a处碰撞时的能量损失．重力加速度g=10m/s²．现要保证平板不翻转，求：
（1）小物块能在平板上滑行的最大距离．
（2）有同学认为，在h一定的情况下，平板是否翻转与斜面的倾角有关，倾角越大，越容易翻转．请用相关知识分析上述认识是否正确．
（3）若h=1m，斜面倾角不能超过多大？

Answer

（1）由题，把质量m=0.5kg的小物块A轻放在C点时，平板左端a恰不受支持力，此时平板的重力力矩等于mgd=1N•m．小物块能在平板上滑行时，以O支点，支架有平板逆时针方向的力矩、滑动摩擦力顺时针方向力矩，及小物块重力和力矩，根据力矩平衡条件求解小物块能在平板上滑行的最大距离．
（2）要使平板发生翻转，小物块至少要滑到C点右侧．由于小物块在平板上克服摩擦力做功μmgcosθ=μmg是确定的，可知在h一定的情况下，斜面倾角越大，克服斜面摩擦力做的功就越小，能滑行的距离就越长，即平板越容易翻转．
（3）由动能定理得，对整个过程研究，求解斜面倾角．
【解析】
（1）滑动摩擦力f=μmg=0.2×0.5×10N=1N
其顺时针力矩为Mf=fR=1N•m
平板的重力矩为MG=mgd=0.5×10×0.2Nm=1N•m
根据力矩平衡条件可得小物块在平板上滑行的最大距离x=L=1m．
（2）要使平板发生翻转，小物块至少要滑到C点右侧．由于小物块在平板上克服摩擦力做功是确定的，所以在h一定的情况下，斜面倾角越大，克服斜面摩擦力做的功就越小，能滑行的距离就越长，即平板越容易翻转．
（3）设小物块恰好能滑到C点，
由动能定理得mgh-（W克斜+W克板）=0
式中W克斜=μmgcosθ，W克板=μmgL
联立得mgh-（μmg+μmgL）=0，
代入数据，解得θ=14°
答：
（1）小物块能在平板上滑行的最大距离是1m．
（2）有同学认为，在h一定的情况下，平板是否翻转与斜面的倾角有关，倾角越大，越容易翻转．请用相关知识分析上述认识是否正确．
（3）若h=1m，斜面倾角不能超过14°．