Question

水平地面上有一个半径为R的圆形轨道，竖直平面上边中点P离地面高为h，P正下方一点P′位于COA连线上且与轨道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．现从P点水平抛出质量为m的小沙袋，使其击中轨道上的小车（沙袋与小车均视为质点，空气阻力不计）．求：
（1）小车停在轨道B点时（∠AOB=90°），沙袋抛出后经多长时间击中小车？击中时动能多大？
（2）若小车匀速圆周运动顺时针经A点时沙袋抛出，为使沙袋能在B处击中小车，小车的速率v应满足的条件．
（3）若在P、C之间以水平射程为（L+R）的平抛运动轨迹制成一光滑轨道，小沙袋从顶点P由静止下滑击中C点小车时水平速度多大？

Answer

（1）沙袋从P点开始做的都是平抛运动，根据在竖直方向上的自由落体运动，可以求得运动的时间，根据动能定理可以求得击中时的动能；
（2）根据等时性可以求得小车运动的时间，但是要注意周期性，再根据圆周运动的速度公式即可求解；
（3）下滑过程沙袋的机械能守恒，根据机械能守恒定律及几何关系即可求解．
【解析】
（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=
解得：t=
抛到B点发生的水平位移为S=，
所以h=g  
由动能定理得mgh=EkB-mv2，
从中解得EkB=mgh+
（2）根据时间相等的条件t=
小车速度v车=
求得v车=  （n=0，1，2，…）  
（3）下滑过程沙袋的机械能守恒，mgh=mvc2，
解得 vc=   
设vC与水平方向夹角为θ，沙袋的水平速度vcx=vccosθ
由平抛运动规律得tanθ=，即cosθ=
所以vc=（L+R）
答：（1）小车停在轨道B点时（∠AOB=90°），沙袋抛出后经击中小车，击中时动能为mgh+；
（2）若小车匀速圆周运动顺时针经A点时沙袋抛出，为使沙袋能在B处击中小车，小车的速率v应满足v车=  （n=0，1，2，…）；
（3）若在P、C之间以水平射程为（L+R）的平抛运动轨迹制成一光滑轨道，小沙袋从顶点P由静止下滑击中C点小车时水平速度为L+R）．