Question

如图所示，水平放置长为L的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图所示的方波电压，电压的正向值为U，反向电压值为U/2，且每隔T/2换向一次，现有质量为m、带正电且电量为q的粒子束从A、B的中点O沿平行于金属板OO'方向源源不断的射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B间的飞行时间均为T．不计重力的影响，则：

（1）在靶MN上距其中心0′点有粒子击中的范围是多少？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U的数值应满足的条件是什么？
（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的动能是多少？

Answer

（1）带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，粒子在竖直方向先向下做匀加速运动，后做匀减速运动．根据牛顿第二定律求出加速度，由位移公式分别求出前时间内和后时间内，粒子在竖直方向的位移，再粒子打在距O′点正下方的最大位移．当粒子在，，…（2n+1）时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．粒子在竖直方向先向上做匀加速运动，后做匀减速运动．同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移．
（2）要使粒子能全部打在靶上，粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于．代入（1）问的结论，求解电压U的数值应满足的条件．
（3）带电粒子在水平方向做匀速直线运动，由运动时间为T，求出粒子的初速度．根据动量定理研究竖直方向的分速度，再所有粒子中最大的动能．
【解析】
带电粒子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动．粒子打在靶MN上的范围，就是粒子在竖直方向所能到达的范围．
（1）当粒子在0，T，2T，…nT时刻进入电场中时，粒子将打在O′点下方最远点，在前时间内，粒子在竖直向下的位移为：
在后时间内，粒子在竖直向下的位移为：
将v=，代入上式得：
故粒子打在距O′点正下方的最大位移为：
当粒子在，，…（2n+1）时刻进入电场时，将打在O′点上方最远点．
在前时间内，粒子在竖直向上的位移为：

在后T/2时间内，粒子在竖直向上的位移为：

其中，，，代入上式得：s2′=0，
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为：．
（2）要使粒子能全部打在靶上，须有：，即．
（3）因为粒子在平行于极板方向做匀速直线运动，所以平行于极板的速度：
设垂直于极板的速度度为vy，则据动量定理有：．
则打在靶上粒子的速度为
所以粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的动能是Ek==
答：（1）粒子打在距O′点正上方的最大位移为；
    （2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U的数值应满足的条件是即；
    （3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的动能是．