Question

如图所示，水平线MN的上方区域存在场强大小为E的匀强电场，其方向指向右上方且与MN的夹角θ=45°，MN的下方区域存在磁感应强度为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向外．一个重力不计、质量为m、电量为q的带负电粒子，从MN上的O点，以v的初速度沿电场方向射入匀强电场，并记为第一次经过MN．求：
（1）粒子从O点出发到第二次经过MN经历的时间t；
（2）粒子第三次经过MN的位置与O之间的距离s；
（3）粒子第四次经过MN时速度v的大小．

Answer

（1）带电粒子进入电场后，先做匀减速运动，再反向做匀加速运动，仍以大小为v的速度从O点第二次经过MN进入磁场，画出轨迹．根据牛顿第二定律求出加速度，由运动学速度公式求解时间t；
（2）带电粒子在磁场中，由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求得轨迹半径，画出轨迹，由几何知识求得粒子第三次经过MN的位置与O之间的距离s；
（3）粒子再次进入电场时做类平抛运动，运用运动的分解法，由运动学公式和牛顿第二定律求解粒子第四次经过MN时速度v的大小．
【解析】
（1）带负电粒子进入先做匀减速运动，再反向做匀加速运动，仍以大小为v的速度从O点第二次经过MN进入磁场，如图所示，由牛顿第二定律得
   qE=ma，得a=
设粒子做匀减速运动的时间为t1，反向做匀加速运动为t2，根据运动的对称性可知，
t1=t2=则有
t=t1+t2=2=
（2）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得
   qvB=m，得R=
粒子第三次经过MN的位置为C，则由几何关系得 
   s=2Rsinθ=
（3）粒子从C点进入电场时做类平抛运动，第四次经过MN的位置为D，CD方向与粒子在C点的速度v方向的夹角为45°，设粒子从C点到D的时间为t3，则
垂直于E方向粒子做匀速直线运动，则有  s1=vt3
平行于E方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有  s2==
又tan45°=
联立解得  t3=
垂直于E方向的速度大小为 v1=v
平行于E方向的速度大小为  v2=at3= =2v
故粒子第四次经过MN时速度v的大小为v=．
答：（1）粒子从O点出发到第二次经过MN经历的时间t是；
（2）粒子第三次经过MN的位置与O之间的距离s是；
（3）粒子第四次经过MN时速度v的大小是．