Question

如图所示，AB为固定在竖直平面内粗糙倾斜轨道，BC为光滑水平轨道，CD为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，且AB与BC通过一小段光滑弧形轨道相连，BC与弧CD相切．已知AB长为L=10m，倾角θ=37°，BC长s=m，CD弧的半径为R=m，O为其圆心，∠COD=143°．整个装置处在水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E=1×10³N/C．一质量为m=0.4kg、电荷量为q=+3×10 ^-3C的物体从A点以初速度v_A=15m/s沿AB轨道开始运动．若物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物体运动过程中电荷量不变．求
（1）物体在AB轨道上运动时，重力和电场力对物体所做的总功；
（2）物体能否到达D点；
（3）物体离开CD轨道后运动的最高点相对于O点的水平距离x和竖直距离y．

Answer

（1）匀强电场方向水平向左，物体所受的电场力水平向左，与重力和合力大小为F=，求出合力与竖直方向的夹角α，tanα=，再求解重力和电场力对物体所做的总功；
（2）设物体能到D点，对物体由A到D的过程，由动能定理求出物体到达D点的速度，与临界速度比较，分析能否到达D点；
（3）物体刚要离开轨道时轨道对物体的弹力为零，由牛顿第二定律根据动能定理研究A到D的过程，求出物体经过D点的速度．物体离开轨道时做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，由位移公式求出最高点相对于O点的水平距离x和竖直距离y．
【解析】
（1）物体所受重力和电场力的合力大小为
  F==5N，
设合力与竖直方向的夹角为α，则tanα==，
解得，α=37°，
由几何知识得知，重力和电场力的合力与斜面AB垂直，所以物体在轨道AB上运动时重力和电场力对物体做的总功为W=0．
（2）D点为CD轨道上的等效最高点，设物体能到D点，其速度为vD
对物体由A到D的过程由动能定理得
-μFL-qE（s+Rsinα）-mg（R+Rcosα）=
设物体刚能到D点时速度为v
由牛顿第二定律得
   F=m
解得v＞vD
因此物体不能到达D点．
（3）物体刚要离开轨道时轨道对物体的弹力为零，设此时物体位置与O点连线与竖直方向的夹角为β，物体的速度为v
由牛顿第二定律得
   mgcosβ+qEsinβ=m
-μFL-qE（s+Rsinβ）-mg（R+Rcosβ）=-
解得，v=5m/s，sinβ=0.8
物体离开轨道时做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，设物体到达最高点的时间为t，
则有
  vsinβ=gt，得t=0.4s
物体运动的最高点相对于O点的水平距离x=vcosβt+-Rsinβ=
和竖直距离y=+Rcosβ=2.05m
答：
（1）物体在AB轨道上运动时，重力和电场力对物体所做的总功是0；
（2）物体不能到达D点；
（3）物体离开CD轨道后运动的最高点相对于O点的水平距离x是，竖直距离y是2.05m．