Question

如图所示，光滑圆形坡道的半径为R，质量为m的小物块A在圆形坡道上距水平面高度为h处由静止滑下，进入水平面上的滑道．为使A制动，将轻弹簧的一端固定在竖直墙上的P点，另一端连接质量为M的物体B，并恰位于滑道的末端O点．已知在OP段，A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，（A、B均可视为质点）求：
（1）小球到达圆坡道末端O点还未与B接触时对坡道的压力多大？
（2）若在O点A、B碰后粘在一起运动，运动速度多大？
（3）弹簧为最大压缩量d时的弹性势能 （设弹簧处于原长时弹性势能为零）？

Answer

（1）由机械能守恒可求得小球到末端时的速度；由向心力公式可求得对坡道的压力；
（2）由动量守恒可求得共同运动的速度；
（3）在水平滑道上滑动时，摩擦力对AB作负功，当达最大弹性势能时，动能转化为内能和弹簧的弹性势能，由能量守恒可求得弹簧增加的弹性势能．
【解析】
（1）由机械能守恒定律得：mgh=mv2             
解得：v=                                 
若小球在圆坡道末端所受支持力的大小为F，小球做圆周运动有：
F-mg=m                               
由结果代入上式可得：F=mg（1+）       
根据牛顿第三定律，小球到达圆坡道末端时对坡道的压力大小为N=mg（1+）
方向竖直向下． 
（2）根据动量守恒定律：
mv=（m+M）v1
解得：v1=
（3）在水平滑道上物块A、B克服摩擦力所做的功为
W=μ（M+m）gd                           
弹簧为最大压缩量d时的弹性势能为EP，由能量守恒定律得：
（M+m）v12=EP+μ（M+m）gd
以上各式联立求解得：Ep=mgh-μ（M+m）gd；
答：（1）小球到达圆坡道末端时对坡道的压力大小为mg（1+），方向竖直向下．
（2）AB整体的速度为
（3）弹簧为最大压缩量d时的弹性势能为mgh-μ（M+m）gd；