Question

随着越来越高的摩天大楼在世界各地的落成，而今普遍使用的钢索悬挂式电梯已经不适应现代生活的需求．这是因为钢索的长度随着楼层的增高而相应增加，这些钢索会由于承受不了自身的重力，还没有挂电梯就会被拉断．为此，科学技术人员开发一种利用磁力的电梯，用磁动力来解决这个问题．如图所示是磁动力电梯示意图，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面交替排列的匀强磁场B₁和B₂，B₁=B₂=1.0T，B₁和B₂的方向相反，两磁场始终竖直向上作匀速运动．电梯轿厢固定在如图所示的金属框abcd内（电梯轿厢在图中未画出），并且与之绝缘．已知电梯载人时的总质量为4.75×10³kg，所受阻力f=500N，金属框垂直轨道的边长L_cd=2.0m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ad相同，金属框整个回路的电阻R=9.0×10^-4Ω，g取10m/s²．假如设计要求电梯以v₁=10m/s的速度匀速上升，求：
（1）金属框中感应电流的大小及图示时刻感应电流的方向；
（2）磁场向上运动速度v的大小；
（3）该磁动力电梯以速度v₁向上匀速运动时，提升轿厢的效率．

Answer

金属框匀速上升时，ab、cd两均切割磁感线产生感应电动势，两边均受到安培力，根据平衡条件和右手定则可确定感应电流的大小和方向．由欧姆定律和感应电动势公式求出磁场向上运动速度v的大小．根据功率公式求出重力、阻力和的热功率，进而求出效率．
【解析】
设B1=B2=B，Lab=Lcd=L
（1）由于金属框匀速运动，则金属框受到的安培力等于重力与阻力之和，
     设当电梯向上用匀速运动时，金属框中感应电流大小为I
         根据平衡条件得F安=mg+f ①
           又F安=2BIL           ②
      由①②式解得，金属框中感应电流I=1.2×104A
      由于磁场向上运动，相当于金属框向下运动，由右手定则得到图示时刻回路中感应电流沿逆时针方向．
    （2）金属框中感应电动势E=2BL（v-v1）           ③
      金属框中感应电流大小I=         ④
      由③④式得v=12.7m/s                       
    （3）金属框中的热功率为：P1=I2R=1.3×105W
        重力功率为：P2=mgv1=4.75×105W         
        阻力的功率为：P3=fv1=5×103W        
        则提升轿厢的效率η=100%=77.9%
答：（1）金属框中感应电流的大小为1.2×104A，图示时刻感应电流的方向沿逆时针方向；
    （2）磁场向上运动速度v的大小为12.7m/s；
    （3）提升轿厢的效率为77.9%．