Question

光滑曲面轨道末端切线水平，轨道末端点距离水平地面的高度为H=0.8m，一长度合适的木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面之间，构成倾角为θ=37°的斜面，如图所示．一可视为质点的质量m=1kg小球，从距离轨道末端竖直高度为h=0.2m处由静止滑下．（不计空气阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求小球从轨道末端点冲出瞬间的速度v的大小；
（2）求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端点多远；
（3）若改变木板的长度，并使木板两端始终与平台和水平面相接，试通过计算推导小球第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式，并在图中作出E_k-（tanθ）²图象．

Answer

（1）由于曲面光滑，小球下滑过程中机械能守恒，因此根据机械能守恒即可求得结果．
（2）当小球和木板撞击时，其平抛过程中位移方向和水平方向夹角为θ，由平抛运动规律可知，y和x分别表示竖直和水平方向位移．
（3）只要小球落到木板上，其运动过程中位移和水平方向的夹角即为θ，若速度和水平方向的夹角为α，则有tanα=tanθ，然后根据平抛运动中合速度和水平、竖直速度关系即可求出小球动能，从而进一步推导出动能随木板倾角θ的关系式，进而画出图象．
【解析】
（1）小球下滑过程中机械能守恒，所以有：，得．
故小球从轨道末端点冲出瞬间的速度v=2m/s．
（2）当小球撞到木板上时，其位移与水平方向夹角为θ，则有：  ①
水平方向：x=vt      ②
竖直方向：    ③
平抛位移：   ④
联立①②③④解得：s=0.75m．
故第一次撞击木板时的位置距离木板上端点距离为0.75m．
（3）当小球撞击木板时有： 
所以：vy=gt=2vtanθ
所以： （0＜tanθ≤1）
故第一次撞击木板时的动能随木板倾角θ的关系式为：Ek=（8tan2θ+2）J   其中：0＜tanθ≤1
故其Ek-（tanθ）2图象如下图所示．