Question

如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，ab与cd之间相距为L金属杆甲、乙的阻值相同，质量均为m，甲杆在磁场区域的上边界ab处，乙杆在甲杆上方与甲相距L处，甲、乙两杆都与导轨垂直．静止释放两杆的同时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F，使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动，加速度大小a=2gsinθ甲离开磁场时撤去F，乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场．
（1 ）求每根金属杆的电阻R是多大？
（2 ）从释放金属杆开始计时，求外力F随时间t的变化关系式？并说明F的方向．
（3 ）若整个过程中，乙金属杆共产生热量Q，求外力F对甲金属杆做的功W是多少？

Answer

（1）根据牛顿第二定律求出乙杆开始做匀加速直线运动的加速度，从而得出乙杆进入磁场时的速度，抓住乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，结合闭合电路欧姆定律，运用共点力平衡求出电阻R的大小．
（2）根据甲杆做匀加速直线运动，结合牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律以及切割产生的感应电动势公式，求出F随时间t的关系．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，根据能量守恒定律求出甲穿过磁场区域，外力做功与产生热量的关系，乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，根据能量守恒求出乙通过磁场区域产生的热量，结合两个关系，求出外力做的功．
【解析】
（1）设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1，乙从开始运动到ab位置的时间为t2，则
，L=

，
t1＜t2，即甲离开磁场时，乙还没有进入磁场．
设乙进入磁场时的速度为v1，乙中的感应电动势为E1，回路中的电流为I1，则

E1=Bdv1
I1=
mgsinθ=BI1d
解得．
（2）从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中的感应电动势为E，回路中的电流为I，外力为F，则
v=at
E=Bdv
I=
F+mgsinθ-BId=ma
a=2gsinθ
解得•t （）
方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v，乙沿导轨运动的距离是x，甲、乙产生的热量相同，设分别为Q1，则
．

解得W=2Q1+mgLsinθ
乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，设分别为Q2，则
2Q2=mgLsinθ
根据题意有Q=Q1+Q2
解得 W=2Q．
答：（1）每根金属杆的电阻．
（2）外力F随时间t的变化关系为•t （），方向垂直于杆平行于导轨向下．
（3）外力F对甲金属杆做的功W是2Q．