Question

一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别为m₁、m₂、m₃，且m₂=m₃=2m₁．小球与槽的两壁刚好接触且不计所有摩擦．起初三个小球处于如图所示的等兼具的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个位置，m₂、m₃静止，m₁以初速度v=沿槽运动，R为圆环内半径与小球半径之和．已知m₁以v与静止的m₂碰撞之后，m₂的速度大小为；m₂与m₃碰撞之后二者交换速度；m₃与m₁之间的碰撞为弹性碰撞．求此系统的运动周期T．

Answer

通过计算分析运动过程：m1通过弧长与m2碰撞，算出运动时间．根据动量守恒定律求出碰撞后m1的速度．碰撞后m2的速度大小为，运动的弧长与m3碰撞，求出运动时间，m2与m3碰撞之后二者交换速度．m3与m1之间的碰撞为弹性碰撞，根据动量守恒和动能守恒求出碰撞后两球的速度，根据速度与通过路程求出运动的时间．分析运动时间与各球运动时间，求出周期．
【解析】
设m1经过t1与m2相碰，=
设m1与m2碰撞之后两球的速度分别为v1、v2，在碰撞过程中由动量守恒定律得：
    m1v=m1v1+2m1v2
由题v2=，求得v1=，方向与碰前速度方向相反．
设m2经过t2与m3相碰，t2==
设m2与m3碰撞之后两球的速度分别为v2'、v3'，因m2与m3在碰撞后交换速度
   所以v2'=0，v3′=
由碰后速度关系知，m3与m1碰撞的位置在Ⅰ位置，设m3经过t3与m1相碰，
设m3与m1碰撞后的速度分别为v3''，v1''，由动量守恒和机械能守恒定律可得：
   2m1v3'+m1v1=2m1v3''+m1v1''

联立解得：v3''=0，v1''=v或（舍）                                   
设m1碰后经t4回到Ⅱ位置，t4=
至此，三个小球相对于原位置分别改变了120，且速度与最初状态相同．故再经过两个相同的过程，即完成一个系统的运动周期．T=3（t1+t2+t3+t4）=20s                                       
答：此系统的运动周期为20s．