Question

如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ=30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（可视为质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动．试分析：
（1）小球以角速度ω=转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力；
（2）小球以角速度ω=转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力．

Answer

求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．
【解析】
当物体刚离开锥面时：Tcosθ-mg=0，
由拉力与重力的合力提供向心力，则有：
解之得：
当小球以角速度1=＜ω时，则存在球受到斜面的支持力，因此由支持力、重力与拉力的合力提供向心力．
对球受力分析，如图所示，则有
①
Tcosθ+Nsinθ=mg②
由①②联式解之得：，

当小球以角速度ω2=＞ω时，则球只由重力与拉力的合力提供向心力，且细绳与竖直方向夹角已增大．
如图所示，则有①
Tcosα=mg②
由①②联式解得：
球离开斜面，则有N=O
答：（1）小球以角速度ω=转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力；
（2）小球以角速度ω=转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力为零．