Question

如图的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成．以水平线MN和PQ为界，空间分为三个区域，区域Ⅰ和区域Ⅲ有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场，区域Ⅰ和Ⅱ有竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的带电小环穿在轨道内，它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1），而轨道的圆弧形部分均光滑．将小环在较长的直轨道CD下端的C点无初速释放（已知区域Ⅰ和Ⅱ的匀强电场场强大小为E=，重力加速度为g），求：
（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小；
（2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力？
（3）若从C点释放小环的同时，在区域Ⅱ再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场，其场强大小为E′=，则小环在两根直轨道上通过的总路程多大？

Answer

（1）小环从C到A，洛伦兹力不做功，重力做负功，电场力做正功．小环对直轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力．根据动能定理求解vA．
（2）小环在第一次通过轨道最高点A时，受到轨道的弹力FN，重力mg，洛伦兹力qvAB，电场力qE，四个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道的压力．
（3）由于0＜μ＜1，小环在直杆受到的重力与电场力的合力向上，大于滑动摩擦力μmg，则小环必能通过A点．分三种讨论研究：①小环恰好停在K点，②有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，③在D与D′点之间振动，小环在D或D′点速度为零．滑动摩擦力做功与路程有关，根据动能定理求解路程．
【解析】
（1）从C到A，洛伦兹力不做功，小环对直轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力．由动能定理，有：
       qE•5R-mg•5R=  可得：vA=  
    （2）过A点时，研究小环，由受力分析和牛顿第二定律，有：
     FN+mg-qvAB-qE=m  解得  FN=11mg+qB  方向向下 
    （3）由于0＜μ＜1，小环必能通过A点，以后有三种可能：
①有可能第一次过了A点后，恰好停在K点，则在直轨道上通过的总路程为：S总=4R
②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，对整个运动过程，由动能定理，有：qE•3R-mg•3R-μqE′S总=0   得：s总=
③还可能最终在D或D′点速度为零（即在D与D′点之间振动），由动能定理，有：
   qE•4R-mg•4R-μqE′S总=0得：s总=
答：（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小=；
   （2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力为11mg+qB，方向向下．
   （3）①有可能第一次过了A点后，恰好停在K点，S总=4R；
        ②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，s总=
        ③还可能最终在D或D′点速度为零（即在D与D′点之间振动），s总=．