Question

如图所示，在xoy坐标系中，第Ⅲ象限内有场强为E，方向沿x正向的匀强电场，第Ⅱ、Ⅳ象限内有垂直坐标平面向内、强度相等的匀强磁场，第 I象限无电、磁场．质量为 m、电量为q的带正电粒子，自x轴上的P点以速度v垂直电场射入电场中，不计粒子重力和空气阻力，PO之间距离为
（1）求粒子从电场射入磁场时速度的大小和方向．
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁场直接回到第Ⅲ象限的电场中，则磁感应强度大小应满足什么条件？
（3）若磁感应强度，则粒子从P点出发到第一次回到第Ⅲ象限的电场区域所经历的时间是多少？

Answer

（1）粒子射入电场后做类平抛运动，电场力做功为qELOP，根据动能定理求出粒子离开电场时的速度大小，由速度的分解求出速度与y轴负方向的夹角；
（2）粒子进入第Ⅳ象限的磁场由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．粒子由第Ⅳ象限的磁场直接回到第Ⅲ象限的电场中，其运动轨迹恰好与x轴相切时，半径最大，对应的磁感应强度最小．画出粒子的运动轨迹，由类平抛运动的规律求出OA长度，由几何知识求出磁场中半径的最大值，由半径公式求出磁感应强度的最小值．即可得到磁感应强度大小应满足的条件．
（3）若磁感应强度，粒子先在第Ⅳ象限的磁场中做匀速圆周运动，后在第Ⅰ象限无场中做匀速直线运动，进入第Ⅱ磁场中也做匀速圆周运动．
由半径公式求出粒子在第Ⅳ象限的磁场中轨迹半径，由几何关系画出运动轨迹．先根据类平抛运动的规律，求出电场中运动时间，根据轨迹的圆心角求出在磁场运动时间，由几何知识求出无场区通过的位移x，由公式t=求出通过无场区的时间，即可求得总时间．
【解析】
（1）设粒子射入磁场时射入点为A，速度大小为v，与y轴负方向夹角θ
粒子在电场中做类平抛运动时，由动能定理
   qELOP=-
解出 v=
与y轴负向夹角sinθ==，θ=45°
（2）若带电粒子恰好直接回到电场中，粒子运动轨迹如图中虚线所示，
粒子在电场中运动时：
Y方向：LOA=vt
X方向：LOP=vxt，
由（1）问可知，vx=v，
由以上三式得：LOA=2LOP=2•=
粒子在第Ⅳ象限磁场中，由几何关系得：
  R+Rsinθ=LOA 
解得  R=
而R==            
解得 B=（） 
所以 B≥（）
（3）当磁感应强度B=时，在磁场中运动半径为R′===
由几何关系得粒子在磁场中的轨迹为半圆，粒子运动轨迹如图中实线所示
粒子在电场中运动时间：t1==
在磁场中运动时间：t2===
无场区运动时间：t3==
故总时间为：t=t1+2t2+t3=（2+π）
答：
（1）粒子从电场射入磁场时速度的大小是，方向与y轴负向夹角为θ=45°．
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁场直接回到第Ⅲ象限的电场中，磁感应强度大小应满足的条件是B≥（） ．
（3）若磁感应强度，粒子从P点出发到第一次回到第Ⅲ象限的电场区域所经历的时间是（2+π）．