Question

如图所示是一皮带传输装载机械示意图．井下挖掘工将矿物无初速放置于沿图示方向运行的传送带A端，被传输到末端B处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C处，然后水平抛到货台上．已知半径为R=0.4m的圆形轨道与传送带在B点相切，O点为半圆的圆心，BO、CO分别为圆形轨道的半径，矿物m可视为质点，传送带与水平面间的夹角θ=37°，矿物与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，传送带匀速运行的速度为v=8m/s，传送带AB点间的长度为s_AB=45m．若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为s_CD=2m，竖直距离为h_CD=1.25m，矿物质量m=50kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）矿物到达B点时的速度大小；
（2）矿物到达C点时对轨道的压力大小；
（3）矿物由B点到达C点的过程中，克服阻力所做的功．

Answer

（1）先假设矿物在AB段始终加速，根据动能定理求出矿物到达B点时的速度大小，将此速度与送带匀速运行的速度v=8m/s进行比较，确定假设是否合理．
（2）矿物从C到D过程做平抛运动，由平抛运动的规律求出经过C点时的速度大小，根据牛顿第二定律求得轨道对矿物的压力，即可得到矿物到达C点时对轨道的压力大小．
（3）矿物由B到C过程中，重力和阻力做功，由动能定理求解克服阻力所做的功．
【解析】
（1）假设矿物在AB段始终处于加速状态，由动能定理可得
   （μmgcosθ-mgsinθ）=
 代入数据得  vB=6m/s
由于vB＜v，故假设成立，矿物B处速度为6m/s．
（2）设矿物对轨道C处压力为F，由平抛运动知识可得
    sCD=vCt
    hCD=
  代入数据得矿物到达C处时速度vC=4m/s
由牛顿第二定律可得
  F+mg=m                                
代入数据得 F=1500N
根据牛顿第三定律可得所求压力 F′=F=1500N                                        
（3）矿物由B到C过程，由动能定理得
-mgR（1+cos37°）+Wf=-
代入数据得  Wf=-140J
即矿物由B到达C时克服阻力所做的功是140J
答：（1）矿物到达B点时的速度大小是6m/s；
（2）矿物到达C点时对轨道的压力大小是1500N；
（3）矿物由B点到达C点的过程中，克服阻力所做的功是140J．