Question

两块足够大的平行金属板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）．在t=0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）．若电场强度E、磁感应强度B、粒子的比荷q/m均已知，且，两板间距．
（1）求粒子在0～t时间内的位移大小与极板间距h的比值．
（2）求粒子在两极板间做圆周运动的最大半径（用h表示）．
（3）若板间电场强度E随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）．

Answer

根据电场和磁场的变化，来对粒子在各个时间段内的受力分析是解决该题的关键，此题电场力和磁场力不是同时存在的，所以要分别对小球在电场力和磁场力作用下的运动进行分析，只在电场力作用时，粒子做加速直线运动，在只有洛伦兹力作用时，粒子做匀速圆周运动．
（1）在0～t时间，只有电场力，粒子做加速运动，可运用运动学公式和牛顿第二定律进行求解．
（2）最大半径受到两板之间的距离的影响，首先对其运动轨迹进行分析，结合板间距离，可分析出粒子能做几个完整的圆周运动，从而得知做圆周运动的最大半径．
【解析】

解法一：
（1）设粒子在0～t时间内的位移大小为s1，由运动学公式和你对第二定律有：
，
又已知，
联立以上两式解得：
．
（2）粒子在t～2t时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动．设运动速度大小为v1，轨道半径为R1，周期为T，则有：
v1=at，
联立以上两式得
又，即粒子在t～2t时间内恰好完成一个周期的圆周运动．在2t～3t时间内，粒子做初速度为v1的匀加速直线运动，设位移为s2，则有：

解得：
由于s1+s2＜h，所以粒子在3t～4t时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v2，半径为R2，则有：
v2=v1+at，
解得：
由于s1+s2+R2＜h，粒子恰好又能完成一个周期的圆周运动．
在4t～5t时间内，粒子运动到正极板（如图1所示）．因此粒子的最大半径为：
．
（3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示．
解法二：
由题意可知，电磁场的周期为2t，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线运动，加速度大小为：
，方向向上．
后半周期粒子受磁场作用多匀速圆周运动，周期为T，则有：

粒子恰好完成一次匀速圆周运动．至第n个周期末，粒子位移大小为sn，有：

又已知
粒子速度大小为vn=ant，粒子做圆周运动的半径为：
，
解得：，显然s2+h＜h＜s3
所以有：（1）粒子在0～t时间内的位移大小与极板间距h的比值为
（2）粒子在两极板间做圆周运动的最大半径
（3）粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2．
答：（1）粒子在0～t时间内的位移大小与极板间距h的比值为
（2）粒子在两极板间做圆周运动的最大半径
（3）粒子在板间运动的轨迹图为图2．