Question

如图所示的凹形场地，两端是半径为L的光滑圆弧面，中间是长为4L的粗糙水平面质量为3m的乙开始停住水平面的中点O处，质量为m的甲从光滑圆弧面的A处无初速度地滑下，进入水平面后与乙碰撞，且碰后以碰前一半的速度反弹，已知甲、乙与水平而的动摩擦因数分别为μ₁、μ₂，且μ₁=2μ₂．甲、乙的体积大小忽略不计，求：
（1）甲与乙碰撞前的速度；
（2）由于碰撞而损失的机械能；
（3）甲、乙在O处发生碰撞后．刚好不再发生碰撞，甲、乙停在距B点多远处．

Answer

（1）甲从下滑到与乙碰撞前，重力和摩擦力做功，根据动能定理求解甲与乙碰撞前的速度；
（2）甲乙碰撞过程，系统的动量守恒，根据动量守恒定律求出碰撞后乙的速度，根据能量守恒求解由于碰撞而损失的机械能；
（3）根据牛顿第二定律和运动学公式求出甲乙两物体碰撞后在水平地面上通过的路程之比．由题，甲、乙刚好不再发生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地点停下，有以下两种情况：第一种情况：甲返回时未到达B点时就已经停下，分析能否发生；第二种情况：甲、乙分别通过B、C冲上圆弧面后，返回水平面后相向运动停在同一地点，所以有
s1+s2=8L．求出s1或s2，即可求出甲、乙停在距B点距离．
【解析】
（1）设甲到达O处与乙碰撞前的速度为v甲，由动能定理得：
  m甲gL-μ1m甲g•2L=
解得：
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲′、v乙′，由动量守恒得：
   m甲v甲=m甲v甲′+m乙v乙′，
解得：v乙′=
根据能量转化和守恒定律得，损失的机械能为：△E=--
解得△E=0
（3）由于μ1=2μ2，所以甲、乙在水平面上运动的加速度满足：a甲=2a乙．
设甲在水平地面上通过的路程为s1，乙在水平地面上通过的路程为s2，则有：
    =2a甲s1，
    =2a乙s2，
得：=  ①
由于甲、乙刚好不再发生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地点停下，有以下两种情况：
  第一种情况：甲返回时未到达B点时就已经停下，此时有：s1＜2L，而乙停在甲所在位置时，乙通过的路程为：s2=2L+2L+s1=4L+s1．
因为s1与s2不能满足①，因此这种情况不能发生．
第二种情况：甲、乙分别通过B、C冲上圆弧面后，返回水平面后相向运动停在同一地点，所以有
   s1+s2=8L   ②
①②式得：或
即甲、乙停在距B点距离为：△L=s1-2L=
答：
（1）甲与乙碰撞前的速度是；
（2）由于碰撞而损失的机械能为零．
（3）甲、乙在O处发生碰撞后．刚好不再发生碰撞，甲、乙停在距B点．