Question

质量m=1.0kg的甲物体与竖直放置的轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，如图所示．质量m=1.0kg的乙物体从甲物体正上方，距离甲物体h=0.40m处自由落下，撞在甲物体上在极短的时间内与甲物体粘在一起（不再分离）向下运动．它们到达最低点后又向上运动，上升的最高点比甲物体初始位置高H=0.10m．已知弹簧的劲度系数k=200N/m，且弹簧始终在弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能；
（2）乙物体和甲物体碰撞后一起向下运动至最低点的过程中，乙物体和甲物体克服弹簧弹力所做的功．

Answer

对于乙物体和甲物体碰撞前后，我们可以认为系统动量守恒．
求出乙物体和甲物体碰撞前后的系统动能，求出乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能．
由于空气阻力可忽略不计，所以甲和乙碰撞后做简谐运动，根据平衡位置时的特点求出弹簧压缩量．
根据动能定理研究甲和乙碰撞后到最低点的过程，求出克服弹簧弹力所做的功．
【解析】
（1）设乙物体和甲物体碰撞前瞬间乙物体的速度大小为v1，根据v12=2gh
解得：v1=2m/s=2.8m/s
设乙物体和甲物体碰撞后的共同速度大小为v2，由动量守恒定律有mv1=2mv2
解得v2=v1=m/s=1.4m/s
所以碰撞后系统的动能Ek2=（2m）v22=2J
因为甲、乙物体构成的系统碰撞前的动能Ek1=4J，所以乙物体和甲物体碰撞过程中损失的机械能△E=Ek1-Ek2=2J
（2）设甲物体静止时弹簧压缩量为x1，
根据平衡条件，解得x1==5.0cm
甲和乙碰撞后做简谐运动，在通过平衡位置时两物体所受合力为零，速度最大，设此时弹簧压缩量为x2，
解得：x2==10cm
甲物体和乙物体一同上升到最高点时，两物体与简谐运动平衡位置的距离，即简谐运动的振幅A=x2+（H-x1）=15cm
根据简谐运动的对称性可知，两物体向下运动的距离x=A+（x2-x1）=20 cm
设两物体向下运动至最低点的过程中，克服弹簧弹力做功为W，
根据动能定理研究甲和乙碰撞后到最低点的过程有：
2mgx-W=0-2mv22解得W=6.0J
答：（1）乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能为2J；
（2）乙物体和甲物体克服弹簧弹力所做的功为6.0J．