Question

如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为α=30°，导轨电阻不计，导轨处在垂直导轨平面斜向上的有界匀强磁场中．两根电阻都为R=2Ω、质量都为m=0.2kg的完全相同的细金属棒ab和cd垂直导轨并排靠紧的放置在导轨上，与磁场上边界距离为x=1.6m，有界匀强磁场宽度为3x=4.8m．先将金属棒ab由静止释放，金属棒ab刚进入磁场就恰好做匀速运动，此时立即由静止释放金属棒cd，金属棒cd在出磁场前已做匀速运动．两金属棒在下滑过程中与导轨接触始终良好（取重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）金属棒ab刚进入磁场时棒中电流I；
（2）金属棒cd在磁场中运动的过程中通过回路某一截面的电量q；
（3）两根金属棒全部通过磁场的过程中回路产生的焦耳热Q．

Answer

（1）对导体棒进入磁场前过程运用动能定理列式求解，得到进入磁场的速度；然后根据平衡条件、安培力公式、切割公式、欧姆定律列式求解；
（2）金属棒cd加速下滑过程，ab棒匀速运动，cd棒刚进入磁场时，两根棒速度相同，故无感应电流，不受安培力，一起加速；ab棒出磁场后，cd棒先减速后匀速，也可能一直减速；
（3）分第一根导体棒穿过磁场和第二个根导体棒穿过磁场过程（两个导体棒都在磁场中时，两个棒的速度相同，无感应电流，无电热）进行讨论，第二根离开磁场过程根据动能定理列式求解．
【解析】
（1）由动能定理，得到：mgxsinα=mv12，解得v1═4m/s
此后棒匀速下滑，根据切割公式，有E=BLv1
根据欧姆定律，有E=I×2R
根据安培力公式，有F=BIL
根据平衡条件，有：mgsinα=BIL
联立得到：mgsinα=
解得：BL=1T•m 
又由于BIL=mgsinα，解得I=1A   
（2）设经过时间t1，金属棒cd也进入磁场，其速度也为v1，金属棒cd在磁场外有x=v1•t1，此时金属棒ab在磁场中的运动距离为：X=v1t1=2x，
两棒都在磁场中时速度相同，无电流，金属棒cd在磁场中而金属棒ab已在磁场外时，cd棒中才有电流，cd棒加速运动的位移为2x；
电量为=
（3）金属棒ab在磁场中（金属棒cd在磁场外）回路产生的焦耳热为：
Q1=mgsinα×2x=3.2J 
金属棒ab、金属棒cd都在磁场中运动时，回路不产生焦耳热．两棒加速度均为gsinα，ab离开磁场时速度为v2，v22-v12=2gxsinα，
解得v2==4；
金属棒cd在磁场中（金属棒ab在磁场外），金属棒cd的初速度为v2=4m/s，末速度为=4m/s，由动能定理：
mgsinα×2x-Q2=m（）2-m（）2
Q2=mgsinα×3x=4.8J（1分）
Q=Q1+Q2=mgsinα×5x=8J
答：（1）金属棒ab刚进入磁场时棒中电流I为1A；
（2）金属棒cd在磁场中运动的过程中通过回路某一截面的电量q为0.8C；
（3）两根金属棒全部通过磁场的过程中回路产生的焦耳热Q为8J．