Question

如图甲所示，半径为r的金属圆环水平放置，三条电阻均为R的导体棒Oa、Ob、和Oc互成120角连接在圆心O和圆环上，圆环绕经过圆心O的竖直金属转轴以大小为ω的角速度按图中箭头方向匀速转动．一方向竖直向下的匀强磁场区与圆环所在平面相交，相交区域为如图虚线的菱形（顶角为60的那个顶点位于O处、其它三个顶点在圆环外）．C为水平放置的平行板电容器，通过固定的电刷P和Q连接在圆环和金属转轴上，电容器极板长为L，两极板的间距为d．现使一细电子束沿两板间的中线以大小为v_O（v_O=）的初速度连续不断地射入电容器C．
（1）设磁感应强度为B，以导体棒Ob开始进入磁场为计时起点．请在乙图坐标中画出电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象（至少画出圆环转动一周的图象）
（2）已知电子电荷量为e，质量为m．忽略圆环的电阻、电容器的充放电时间及电子所受重力和阻力．欲使射入的电子全部都能通过电容器C，则匀强磁场的磁感应强度B的大小应满足什么条件？

Answer

（1）当三根金属棒中有一根切割磁感产生感应电动势时，相当于电源，另外两根棒并联相当外电路，根据E=ω求出感应电动势，由欧姆定律即可得到电刷P和Q间电压U的表达式．从导体棒Ob开始进入磁场为计时起点，在一个周期内，电刷P和Q间有电压和无电压间隔出现，可作出U-t图象．
（2）电子进入电容器C后，某一导体棒也开始进入磁场，电子电子做类平抛运动，在水平方向不受电场力而做匀速直线运动，在竖直方向受到电场力而做匀加速运动；在没有电场的时间内竖直方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出电子在竖直方向的最大位移y，要使射入的电子全部都能通过电容器C，必须满足的条件是y≤，联立可求出磁感应强度B的大小．
【解析】
（1）导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为
  E=ω
通过此棒的电流为  I==
棒两端的电压为 U=I
联立以上三式得  U=Bωr2
圆环转动的周期为 T=
则电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象如图所示．
（2）电子在平行板电容器中运动的时间
     t===
所以，当电子开始进入平行板电容器中时，某一导体棒也开始进入磁场，这个电子在平行板电容器中运动的第一个和第三个时间内竖直方向受到电场力而做匀加速运动；第二个时间内竖直方向不受电场力而做匀速运动，这个电子在竖直方向上的位移最大．用y表示竖直位移
第一个时间内    =
第二个时间内    y2=2y1
第三个时间内 y3=3y1
竖直方向上的最大位移  y=y1+y2+y3=
要使射入的电子全部都能通过电容器C，必须满足y≤
解得       B≤
答：
（1）电刷P和Q间电压U与时间t的关系图象如图所示．
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小应满足的条件是：B≤．