Question

如图所示，在同一平面内放置的三条光滑平行足够长金属导轨a、b、c构成一个斜面，此斜面与水平面的夹角θ=30°，金属导轨相距均为d=1m，导轨ac间横跨一质量为m=0.8kg的金属棒MN，棒与每根导轨始终良好接触，棒的电阻r=1Ω，导轨的电阻忽略不计．在导轨bc间接一电阻恒为R=2Ω的灯泡，导轨ac间接一电压传感器（相当于理想电压表）．整个装置放在磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上．现对棒MN施加一沿斜面向下的拉力F使棒从静止开始运动，g取10m/s²．试求：（1）若施加的恒力F=2N，则金属棒达到稳定时速度为多少？（2）若施加的外力功率恒定，棒达到稳定时速度为4m/s，则此时外力的功率和电压传感器的读数分别为多少？（3）若施加的外力功率恒为P，经历时间为t，棒沿斜面轨道下滑距离为s、速度达到v₃，则此过程中灯泡产生的热量为多少？

Answer

（1）金属棒达到稳定时速度时做匀速直线运动，合力为零．由欧姆定律、感应电动势和安培力公式推导出安培力与速度的关系，根据平衡条件即可求出金属棒达到稳定时的速度．
（2）若施加的外力功率恒定，棒达到稳定时速度为4m/s，由感应电动势公式和欧姆定律求出此时的感应电流，根据平衡条件求出外力的功率．由欧姆定律求出电压电压传感器的读数．
（3）棒沿斜面轨道下滑距离为s，棒的重力势能减小，外力F做功提供能量Pt，转化为灯泡和金属棒的内能以及金属棒的动能，根据能量守恒定律列式可求出灯泡产生的热量．
【解析】
（1）设稳定时速度为v1，当金属棒速度达到稳定时，合力F合=0，即有
    F+mgsinθ-FA=0
又金属棒所受的安培力大小FA=BId，I=
联立得 v1=
代入解得，v1=3.75m/s
（2）若施加的外力功率恒定，棒达到稳定时速度为4m/s，此时电路中电流为 I2==A=3.2A
外力的大小为F外=，根据平衡条件则有
   +mgsinθ=BI2d
代入解得，P=9.6W
灯泡两端的电压为UL=I2R=3.2×2V=6.4V，故电压传感器的读数为U=UL+Bdv2=14.4V
（3）设此过程中灯泡和金属杆产生的热量分别为Q1和Q2．根据能量守恒定律得
  Pt+mgsinθ=Q1+Q2+
由于通过灯泡和金属杆的电流时刻相等，根据焦耳定律Q=I2Rt知，两者产生的热量与电阻成正比，则有
   Q1：Q2=R：=4：1
则解得，Q1=
答：（1）若施加的恒力F=2N，则金属棒达到稳定时速度为3.75m/s；
（2）若施加的外力功率恒定，棒达到稳定时速度为4m/s，外力的功率和电压传感器的读数分别为9.6W和14.4V．
（3）此过程中灯泡产生的热量为．