Question

如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点P．已知A、B间所加电压为U时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡．现在A、B 间加上如图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期T=（g为重力加速度）．在第一个周期内的某一时刻t，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．
（1）t在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短？
（2）t在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大？

Answer

分析质点的运动情况：在第一个周期内，若质点在前半周内释放，可能先向上做匀加速直线运动，后向上做匀减速直线运动；后半周内释放，可能先向下做匀加速直线运动，后向下做匀减速直线运动．要使质点飞出小孔之前时间最短，必须一直加速，而且加速度较大．向上或向下的加速度大小由牛顿第第二定律求出，向下的加速度大，故质点须在后半周内某个时刻释放，且运动时间小于T，质点在飞出小孔之前运动的时间即最短；要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’
【解析】
设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U时，有
    q=mg                           
   当两板间的电压为2U时，P的加速度向上，其大小为a1，则
    q -mg=ma1         解得 a1=g                           
   当两板间的电压为-2U时，P的加速度向下，其大小为a2，则
    q+mg=ma2         解得 a2=3g            
（1）要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，须使质点释放后一直向下加速运动．设质点释放后经过时间t到达小孔O′，则 
             解得 t=                       
    因为周期T=，所以t
    质点到达小孔之前能一直加速．因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t应
    满足，即≤t≤5                   
（2）要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’．
设质点释放后向上加速时间为t1、向上减速时间为t2，则
                         v1=gt1  0=v1-3gt2  

     由以上各式解得
  t1=                   t2=                  
因为t1＜，t2＜
因此质点P能向上先加速后减速恰好到达小孔O．设质点从小孔O向下加速运动到小孔O’经过的时间为t3，则
       d=              
 解得t3= 
    因为t2+t3=，因此质点P能从小孔O向下一直加速运动到小孔O’，
此时质点P从小孔O’飞出时的速度达到最大．因此，要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，质点P释放的时刻应为
  t==
故答案为：（1）≤t≤5   （2）