Question

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属球，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，高平行轨道中够长．已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小．
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R₂上的电功率P₂．
（3）若将磁场II的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场II时速度大小为v₃，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式．

Answer

（1）导体棒受到重力和安培力的作用，注意此时导体棒的有效切割长度和外电路的串并联情况．
（2）导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，说明导体棒匀速运动，导体棒在下落h的过程中做匀变速直线运动，根据运动规律可求出下落距离h，根据并联电路可知R2上消耗的功率占整个电路的，总电功率等于导体棒重力功率．
（3）正确进行受力分析，注意安培力的表达式，然后根据牛顿第二定律求解即可．
【解析】
（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得：
mg-BIL=ma，式中，
式中：=4R
由以上各式可得到：
故导体棒ab从A下落时的加速度大小为：．
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即：
式中：
解得：
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有vt2-v22=2gh，
得：，
此时导体棒重力的功率为：，
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即P电=P1+P2=PG=，
所以，=，
故磁场I和II之间的距离，和R2上的电功率．
（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为v't，此时安培力大小为：
由于导体棒ab做匀加速直线运动，有v't=v3+at
根据牛顿第二定律，有
F+mg-F′=ma
即：
由以上各式解得：
故所加外力F随时间变化的关系式为：．