Question

如图所示，固定的四分之一竖直圆弧轨道AB的半径R=0.6m，其最低点与长l=2.0m、高h=0.2m、质量M=5.0kg的长木板的水平上表面相切于B点．质量m=1.0kg的小滑块（可视为质点）从圆弧顶点A处由静止释放，当它运动到圆弧最低点时受轨道的支持力为25N．已知滑块与长木板间的动摩擦因数μ₁=0.2，长木板与水平地面间的动摩擦因数μ₂=0.1．（不计空气阻力，g取10m/s²）
（1）求滑块由A运动到B的过程中，摩擦力对它做的功；
（2）试通过计算判断滑块能否离开长木板．若能，求滑块在长木板上运动的时间及滑块从C点离开木板到落地的过程中通过的位移大小；若不能，写出判断过程．（结果保留两位有效数字）

Answer

（1）滑块在B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出滑块经过B点时的速度，根据动能定理研究滑块由A运动到B的过程，得到摩擦力对它做的功；
（2）滑块在长木板上运动时，长木板受到滑块对它的摩擦力为Ff1=μ1mg=2N，长木板受到地面对它的摩擦力为Ff2=μ2（M+m）g=6N，Ff1＜Ff2，则知长木板不动．由牛顿第二定律和运动学公式结合求出滑块速度减小到零时通过的距离x，与板长l比较，可判断滑块能否离开长木板．如能离开木板，滑块离开长木板后做平抛运动，由高度h求出时间，由x=vt求出水平位移大小，滑块离开C点到落地的过程中通过的位移大小为L=．
【解析】
（1）滑块在B点时，由牛顿第二定律得  FN-mg=m 得  vB=3m/s
滑块由A运动到B的过程中，由动能定理得   mgR+Wf=m
联立以上两式可得    Wf=-1.5J
（2）长木板受到滑块对它的摩擦力为Ff1=μ1mg=2N，长木板受到地面对它的摩擦力为Ff2=μ2（M+m）g=6N，因Ff1＜Ff2，故长木板不动．
滑块在长木板上运动时的加速度大小为a==μ1g=2m/s2
滑块速度减小到零时通过的距离，x1==2.25m＞l=2.0m：故滑块能离开长木板
设滑块在长木板上运动的时间为t1，则l=vBt1-a，
代入数据解得t1=1.0 s（t1=2.0s，由于v=vB-at1=3-2×2=-3m/s，滑块向左运动，不可能．故t1=2.0s舍去）
滑块运动到C点时的速度为：vC=vB-at1=1.0m/s
滑块离开长木板后做平抛运动，设其运动的时间为t2，则：
   h=g，
   x2=vCt2
联立解得x2=0.2m
滑块离开C点到落地的过程中通过的位移大小为L==0.28m
答：
（1）滑块由A运动到B的过程中，摩擦力对它做的功为-1.5J；
（2）滑块能离开长木板，滑块离开C点到落地的过程中通过的位移大小为0.28m．