Question

如图所示，aa′、bb′、cc′、dd′为四条平行金属轨道，都处在水平面内．aa′、dd′间距2L，bb′、cc′间距L．磁感应强度B的有界匀强磁场垂直于纸面向里，边界与轨道垂直．ab、cd两段轨道在磁场区域正中间，到磁场左右边界距离均为s．轨道电阻不计且光滑，在a′d′之间接一阻值R的定值电阻．现用水平向右的力拉着质量为m、长为2L的规则均匀金属杆从磁场左侧某处由静止开始向右运动，金属杆的电阻与其长度成正比，金属杆与轨道接触良好，运动过程中不转动，忽略与ab、cd重合的短暂时间内速度的变化．
（1）证明：若拉力为恒力，无论金属杆的内阻r为多少，都不能使金属杆保持匀速通过整个磁场．
（2）若金属杆内阻r=2R，保持拉力为F不变，使金属杆进入磁场后立刻作匀速直线运动．当金属杆到达磁场右边界时，速度大小为v．试求此次通过磁场过程中，整个回路放出的总热量．
（3）若金属杆内阻r=2R，通过改变拉力的大小，使金属杆从磁场左侧某处从静止开始出发，保持匀加速运动到达磁场右边界．已知金属杆即将到达ab、cd位置时拉力的大小F₁，已在图中标出．试定性画出拉力大小随时间的变化关系图．（不需要标关键点的具体坐标，但图象应体现各段过程的差异．）

Answer

（1）由于导轨的宽度发生变化，因此导体棒所受安培力将发生变化，故F不可能为恒力，若为恒力，导轨不可能匀速运动．
（2）导体棒匀速运动，根据安培力等于力F求出导体棒进入磁场时的初速度，然后根据功能关系即可求出整个过程中回路产生的热量．
（3）正确受力分析，根据牛顿第二定律写出F的表达式，即可正确画出F-t图象．
【解析】
（1）当金属杆在ab、cd左侧时，安培力：
当金属杆在ab、cd右侧时，安培力：
若拉力为恒力且始终匀速经过，则有FA1=FA2
得r=-3R，无解．
（或  得到FA1≠FA2，则拉力不可能为恒力）
故若拉力为恒力，无论金属杆的内阻r为多少，都不能使金属杆保持匀速通过整个磁场．
（2）当金属杆在ab、cd左侧匀速运动时，
解得：
对金属杆通过磁场的过程列动能定理式有：

解得：．
故整个回路放出的总热量为：．
（3）在磁场外拉力恒定，保持匀加速：
在ab、cd左侧时，满足：F-FA=ma，故有：
在ab、cd右侧时，满足F-FA=ma，故有：
比较两个表达式可知，进入ab、cd右侧后，直线斜率将减小
又因为在ab、cd左侧运动时间大于在ab、cd右侧运动时间，所以出磁场瞬间F2肯定比F1小．
故拉力大小随时间的变化关系图如下图所示：