Question

一质量M=0.8kg的中空的、粗细均匀的、足够长的绝缘细管，其内表面粗糙、外表面光滑；有一质量为m=0.2kg、电荷量为q=0.1C的带正电滑块以水平向右的速度进入管内，如图甲所示．细管置于光滑的水平地面上，细管的空间能让滑块顺利地滑进去，示意图如图乙所示．运动过程中滑块的电荷量保持不变．空间中存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为B=1.0T．（取水平向右为正方向，g=10m/s²）

（1）滑块以v=10m/s的初速度进入细管内，则系统最终产生的内能为多少？
（2）滑块最终的稳定速度 v_t取决于滑块进入细管时的初速度v
①请讨论当v的取值范围在0至60m/s的情况下，滑块和细管分别作什么运动，并求出v_t和v的函数关系？
②以滑块的初速度v横坐标、滑块最终稳定时的速度v_t为纵坐标，在丙图中画出滑块的v_t-v图象（只需作出v的取值范围在0至60m/s的图象）．

Answer

（1）小滑块与细管组成的系统水平方向外力为零，因此水平方向系统动量守恒，然后根据功能关系即可求解．
（2）本问的关键是正确分析重力和洛伦兹力的关系，以重力等于洛伦兹力为临界点进行分析，当重力大于洛伦兹力时，细管下壁与滑块之间有支持力，当重力小于洛伦兹力时，细管上壁与滑块之间有支持力．明确了这些便找到了解决问题的突破点．
【解析】
（1）小球刚进入管内时受到洛仑兹力为：F洛=qvB=1N     ①
依题意小球受洛仑兹力方向向上，F洛＜mg=2N，小球与管的下壁有弹力，摩擦使球减速至最终与细管速度相同时，两者以共同速度v运动          
由动量守恒定律：mv=（m+M）v            ②
对系统：由能量守恒定律：    ③
由②③得：Q=8 J 
故系统最终产生的内能为8J．
（2）①分析：当滑块对管的上下壁均无压力时，滑块进入细管的速度满足：mg=qv'B    ④
得：v'=20m/s
下面分a、b两种情况进行讨论分析：
a、当滑块初速小于v=20m/s时，F洛＜mg，滑块与管的下壁有弹力，并有摩擦力，使滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者共速
对系统：依动量守恒定律：mv=（m+M）vt ⑤
代入数据得：vt=0.2v0 ⑥（0＜v＜20m/s）
b、当滑块初速20m/s≤v≤60m/s时，滑块与管的上壁有弹力，摩擦使滑块减速最终速度为 vt=20m/s，而细管作匀加速直线运动，加速到V′⑧
当滑块以初速度为v进入，若恰好V′=vt=20m/s，则对系统依动量守恒定律有：mv=（m+M）V′
可得：v=100m/s＞60m/s，
当滑块以v=60m/s进入时，f洛=qvB=6N＜（m+m）g=10N
∴细管工不会离开地面．
可见：当滑块以初速度20m/s≤v≤60m/s进入细管时，细管最终不能加速到20m/s
故当滑块初速小于v=20m/s时，滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者以相同的速度一起匀速运动；
当滑块初速20m/s≤v≤60m/s时，滑块作匀减速直线运动，当速度达到20m/s时，开始运动运动，细管开始做匀加速运动，后做匀速运动，且速度小于20m/s．
②根据以上分析得出滑块的vt-v图象如下所示：